444 THÉORIE DES NOMBRES. 



de la même forme t'-f au% de sorte que p appartiendra soit au 



diviseur quadratique y'+2yz + (a4-Oz% ^oit à son conjugué 



/• a + I \ 

 2y=-|-2yz + ( y. 



En effet, l'équation supposée jo"=iïf=-frtiV% donne p' — M'=aN^'^ 

 donc puisque a est un nombre premier , il faut que Tun des facteurs 

 p + 31 j p — M soit divi&ible par a , et comme le signe de J'i peut 

 être pris à volonté , on pourra faire /? + J4 = aP , p—M=Q^ce 

 qui donnera PQz=N\ Or on satisfait généralement à cette der- 

 nière équation , en faisant , avec de nouvelles indéterminées , 

 P = '7r'Ii, N=7ro>R, Q = t,'It On aura donc 2p = aF+Q 

 =^R(u)^-\-a'7r'') , d'où l'on voit que R ne peut être que i ou 2 : 

 sii? = 2, onaura p =«' + a7r%- si i{ = i , on aura 2/7=&)' + a^% 

 Donc p où ip est nécessairement de la forme t^-\-au\ Mais si 7; est 

 de la forme t^-\-au% il est contenu dans le diviseur quadratique 

 y^'-^-az", qui est le même que y^-\-'2y z-ir(a-^ i) z\ et il ne peut 

 par conséquent appartenir qu'à ce seul diviseur. De même si 2p 

 est de la forme t^ + au\p appartiendra au diviseur quadratique 



^ /a-\-\\ 

 •iy A^iy z-\-\^ y^ et il ne pourra appartenir qu'à ce seul divi- 

 seur. Donc si on Sip-' = M'^-a N% il faudra que p appartienne à l'un 

 des diviseurs conjugués y'' ^lyz + Ca+iJz^ ay^ + 2yz-i-(^-\\ 



(386) PRorosiTiON VI. p étant un nombre premier quelconque , 



et a un nombre premier 8n + 1 , si Von « p== 2M" + 2MN + (^^^ N% 



c est-à-dire si 2p^ est de la forme P^ + a N%;V dis que p appartiendra 

 Jiécessairement au diviseur quadratique singulier fy^H-2gyz + jEfz% 

 en sorte quon aura p r=f//^-f 2g//i'-f 2 f^'^ 



Car a étant un nombre premier 8«+ 1, on peut faire (3=2/'—^^, 

 et cette valeur étant substituée dans l'équation 1 p"" —P^-^-aN^ 

 il en résultera , (>=— /W=^; = p^_^=^iV-^ Or j'observe que les 

 nombres P , JV doivent être' impairs , ainsi que f, g; d'où il suit 

 que non-seulement les deux facteurs p+/A"^, p—/iV sont tous 

 deux pairs, mais que leur produit /?=—/^iV^ est divisible par 8. 



