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Il faut donc que l'un de ces facteurs soit divisible par 4 , & l'autre 

 par 2 seulement : car s'ils éloient tous deux divisibles par 4 , leur 

 somme ip seroit aussi divisible par 4 , ce qui est impossible , 

 p étant un nombre premier impair. Maintenant comme le signe de/ 

 est arbitraire^ nous pourrons supposer que le facteur p — fISl est 

 celui qui n'est divisible que par i. Un semblable raisonnement 

 ayant lieu à l'égard des facteurs P+^A^, P — gN, on supposera 

 de même que P—gN est divisible par 2 seulement. Or de l'équa- 



lion i(p^-rNn=^P'-g'N% ontu-e ^z^N^ ~~P+W' ' 

 soit - l'expression la plus simple de l'une et l'autre fractions j é" et > 



seront impairs , et il faudra qu'on ait , en prenant deux nouvelles 

 arbitraires «5 <^, 



P — gN=2 ctC 2(p+fN) = 4:CS' 



p —fN=2.<i.y ' P-\-gN ^iyS'. 



De-là on ûrep = cLy-\-C S^^ ensmle fN ^CS"— et y , gN^iyS^—ctC-^ 

 donc fÇ-iyS^—ctC) =g(CS'-^Ay) , ou 



i _ '2p+gA 



y " fcf\-gS^ ' 



La fraction - étant déjà réduite à ses moindres termes , cette 



y 

 équation ne peut subsister à moins qu'on n'ait 2fS'-\-gct^=ClI, 



fci.-^gS'=yII, j^ étant une indéterminée. De-là on tire, à cause 



de a = 2f^ — g* , 



act—H(2fy—g^) 



aS=^HCfC — gy). 



Or et et cTsont premiers entr'eux , sans quoi ny-^-CS' oup ne seroit 

 pas un nombre premier ; donc on peut satisfaire à l'équalion 

 met — 7zJ'=i. Mais en vertu des deux équations précédentes, a a 

 ei a^ étant divisibles chacun par H, la quantité mact — «««T, 

 égale à a , sera aussi divisible par H. Donc //ne peut être que 1 ou a. 

 Soit 1°. H=i , on auréi C=2fS' + gct, y — fc^ A- g S' j donc 

 ttyi-CS' ou p=fct''-^ 2gci^+ 2/c^^ Donc p est compiis dans le 

 diviseur singulier fy'' + 2gyz-\- '2fz\ ' 



