446 THÉORIE DES NOMBRES. 



Soit 2^ H — a^ on aura ct = 'ify — gÇ ^ S'—fC^gy^ Jonc 

 oLy-^-CS-ou p^f^^ — ^g^y-^-^fy^i donc j3 est encore compris dans 

 Je diviseur singulier fy^ -\'i gy z-\-2fz''. 



(387) Proposition VII. J^ ûf/5 maintenant que les deux divi- 

 seurs conjugués qui pris pour U satisfont à V équation proposée 

 u^ = PY^4-2QYZ4- R Z% sont les seules solutions dont cette équa- 

 iion soit susceptible. 



Pour démontrer cette proposition , cherchons en général les con- 

 ditions qui doivent avoir Heu pour que deux valeurs différentes 

 de JJ savoir : 



U =^p y^-^-^qy Z'\-2 7r z^ 



^ =Py''+2 q'y Z-^-lir'z' 



fiatisfassent également à l'équation proposée £/"' = P JT* -f 2 Q FJZ" 

 + RZ^ où Y et Z sont des indéterminées qui doivent être fonc- 

 ilions des indéterminées j et z. 



Nous supposerons que les deux valeurs de U sont préparées de 

 manière que p et p' soient des nombres premiers ; cela posé , on 

 trouvera d'abord que les quarrés de ces valeurs sont compris dans 

 deux formules de cette sorte : 



py^ + 2 ^jz + 4z* 



p'y'-\-2^yz+^'z% 



"lesquelles doivent se réduire , l'une et l'autre , à la forme donnée 

 JPy^-\-2Qj z-'JrIiz\ De-là on voit que p^ doit être compris dans 

 lsi£oTmu\e p'y^-\'2<p'jz + '^'z% et réciproquement p'^ dans la for- 

 mule py^ + 2 (pyz'{-4^z\ On peut donc faire tout à-la-fois 



Sok p'ct + çC = y^ p'^0^ -j- !^'c' — y'^ on aura 



partant y^ — y^z=ia(C — C-"). Mais puisque a est un nombre pre- 

 mier , et qu'on peut prendre à volonté le signe de y et celui de C'^ 

 ^n satisfera généralement à cette équation , en faisant 

 y-\-y' = au4 B C'+^ = ^C 



5. — /= CD C'^C=BD, 



