QUATRIÈME PARTIE. 447 



-^,5, C, Z? étant des indéterminées. De là on tire ly^^a^B-^-CD^ 

 'iQ=^ ui. C — B D , et par conséquent 4>'4-4 aC", ou 



/ijfp'^ = (a^' + D') (aB' + C). 

 Par la forme du premier membre , on voit d'abord que le second 

 doit être divisible par 4. Or on ne peut faire que deux suppositions 

 par rapport aux deux facteurs a^^'-i-D", aB^' + C-, ou l'un d'eux, 

 par exemple a^^' + Z?", sera divisible par 4 , et alors il faudrei 

 que les deux nombres ^ et D soient pairs ; ou les deux facteurs 

 <3^'4--0% aB^'-^C" seront divisibles l'un et l'autre par 2 , ce qui 

 suppose les nombres ^ , B , C , D tous impairs. Dans le premier 

 cas , si l'on fait A=^ 1 A\ D = q.D\ on aura 



Dans le second cas , soit i^= ^ + i2iW\, C=^B-\-2N\ on aura 



Enfin puisque p ei p' sont des nombres premiers , ces deux équa- 

 tions ne peuvent se décomposer ultérieurement que suivant un 

 certain nombre de combinaisons , lesquelles se réduisent à six ,, 

 savoir : 



py=(^^M'^2^M- 



(0 



(^) 

 (?) 



(5) 

 (6) 



p- =zaB'-\-C' , p" ^aA'-VD"' 

 p = aB'-\-C^, pp'-r=a^'-\-D'^ 

 pp'= aB'+C' = a A" + D'' 



p''=2M'-'\-231^i-^^A%p'^=^7N' + 2NB + '^B^ 



2 2 



p~2M' + 2MA+^^^%pp"'=2N' + 2NB-]-^^B' 



pp'=2M' + 2M^-^+^^^' 



2N^-^2NB-\-^-^B\ 



Dans la première combinaison , il faut , suivant la Prop. V , quejo 

 etp' soient compris dans le diviseur quadratiquej'''4-2j/z4-('a+ ijz"", 



ou dans son conjugué 2y-\-2y z-\-f J^^; mais comme ils ne 



peuvent appartenir tous deux au même diviseur quadratique , parce 



