44S THÉORIE DES NOMBRES. 



qu'alors les deux valeurs de U se réduiroient à une seule , il s'en- 

 suit que les nombres/» et p' sont compris, l'un dans le diviseur 

 quadratique y"^ Ar iy z + (a + O ^"^ ? l'autre dans son conjugué 

 O-y"^ ■\-^y z-^-'-Ça-^-x) z"^ . Si Ton observe d'ailleurs que le nombre/?, 

 qui est supposé premier , ne peut appartenir qu'à un seul diviseur 

 quadratique , et qu'il en est de même du nombre/' , on verra que 

 cette première combinaison suppose que les deux valeurs de U qui 

 satisfont à l'équation proposée sont : 



U =^y-\-iy z-\-( a-j-ijz'^ 



Alors l'équation proposée seroit de la forme W ==^ Y" -^ 2 Y 2 



Dans la deuxième combinaison , on voit 1°. que le nombre p 

 appartient à la forme y"" -i- 2 y z + ( a + 1 ) z"" ', 2°. que puisque 

 p/»'*= a^'^' + D'^, il faut que p et /)'^ appartiennent à un même 

 diviseur quadratique (n°. q3]) : mais p'* et p* sont compris aussi 

 dans le même diviseur quadratique , donc il faudra que /> et />* 

 soient compris dans le même diviseur , qui par conséquent ne 

 pourra être que y''-i-2yz~\-(a-\- 1^2*. Quant à/', son quarré devant 

 être compris dans cette même forme , il faudra que/»' ou 2/7' y soit 

 aussi compris. Or/)' ne peut l'être , parce qu'alors p et p' seroient 

 compris dans un même diviseur quadratique , et par conséquent 

 les deux valeurs de U se réduiroient à une seule , ce qui est contre 

 la supposition. Donc il faudra supposer que ip' est compris dans le 

 dÏYÏseuv y^-{-7y z + (a -\-i) z^ j c'est-à-dire que/?' est compris dans 

 le diviseur zy^'-^-iy z-\'(a-\- \) z". On retombe donc dans le même 

 résultat qu'a déjà présenté la première combinaison. 



Dans la troisième combinaison, les nombres/? et j»' appartien- 

 droient à un même diviseur quadratique , et ainsi les deux valeurs 

 de U coincideroient en une seule, ce qui est contre la supposition. 



Dans la quatrième combinaison , on voit , d'après la Prop. VI , 

 que les nombres p et p' apparliendroient à un même diviseur qua- 

 dratique , qui seroit le diviseur singulier /jk'-j- ^gy z-\-2fz* ; donc 

 les deux valeurs de Z7se réduiroient encore à une seule , ce qui est 



Êonlre la supposition, 



Dans 



