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Dans la cinquième combinalôon , on voit i°. que le nombre /> 



G -4- 1 

 appartient au diviseur quadratique 2y''-i-2y Z + - z"" j i°, que les 



nombres ip et p'"" appartiennent à un môme diviseur quadratique j 

 mais /:>'% ainsi que yj>% appartient au diviseur jj^' + 2j/z + fa+ 1^2', 

 et alors ip appartient à ce même diviseur. Donc pour concilier ces 



conaitions , il taut que 77 appartenant au diviseur ly -^-zjz-^ ^', 



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jy appartienne à son conjuguéjv°-l-2j Z'\-(a-\- 1) z\ ce qui rentrera 

 dans la première combinaison. 



Enfin , dans la sixième combinaison , il faut que les nomlbres p 

 et 2p' appartiennent à un même diviseur quadratique j cela prouve 

 que le diviseur quadratique qui contient p et celui qui con- 

 tient p' , doivent être deux diviseurs conjugués. En effet, soit 

 py'^ + zçy z-jr27rz'' le diviseur quadratique qui contient j^ ; comme 

 ce diviseur doit contenir aussi 2 p\ il pourra être mis sous la forme 

 ^P'y + ^^yz + hz% mais alors son conjugué, qui estp j''+ 2kyz -\- zhz'", 

 contient p'. Donc comme p' ne peut appartenir qu^à un seul divi- 

 seur quadratique , il appartiendra nécessairement au diviseur con- 

 jugué de py-\-zçyz-{'27rz^ , lequel est sous une autre'forme 



2py''-}-2ÇJZ-\-7rz*. 



De la considération de tous ces cas , il suit manifestement 

 qu'étant proposée Téquation Z/^ = FY'-{-2 QYZ -\- RZ% dans la- 

 quelle le second membre est l'un des diviseurs quadratiques de 

 la formule ^^+ au^, où a est un nombre premier 8 /2 + i , cette 

 équation n'admettra jamais que deux solutions , ou deux valeurs 

 de U, lesquelles seront représentées parles deux diviseurs conju- 

 gués U=pj^ + 2çyz + 2'77z\ U=2py^-Jr2çyz + 7rz\ Et ces deux 

 valeurs se réduiront même à une seule U'=fy^ + 2gjz+2fz^, si 



i'équation proposée est de la forme U^— 2 Y^-\-2YZ-\-{^^^^Z*. 



(388) Proposition VIII. Le nombre des diviseurs qua- 

 dratiques 4 n + I de la formule t^ + a u% où a est un nombre premier 

 8n+ 1 , surpasse toujours d'une unité le nombre des diviseurs qua- 

 dratiques 4n — 1 de la même formule. 



En effet, soit M\q nombre des diviseurs quadratiques 4/z4- 1, 



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