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$. V 1. Méthodes pour compléter la résolution en nombres 

 entiers des équations indéterminées du second degré. 



(38g) JNous avons donné dans la première partie les méthodes 

 nécessaires pour résoudre en nombres entiers les équations indé- 

 terminées du second degré, qui sont de la forme ay''-\-bjZ'^cz''=H; 

 c'est en effet à cette forme que peut être réduite toute équation 

 proposée du second degré j mais il reste une condition à remplir 

 lorsque l'équation dont il s'agit contient des termes du premie^^ 

 degré. 



Soit en général aj"" + byz +cz'' + dy ■\'fz -f- g = o l'équation 

 proposée j pour faire disparoître les termes où les indéterminées 



. , , . o . y+* z-\-c , ., . , 



sont au premier degré, je lais y = — r— , 2= — - — , et j ai la 

 transformée 



Orz^zay'"" \by' z -\rC z'"" 'Yi aa.y' -\-ic^z -^aoi^Ardfi.^ 



+ bCy -\-h rt z ■^haC-Yf(^^ 

 H- <^9y+/9 z' + cC^+^â". 



Supposant donc iact-\-hÇ-\-d^ -=^0 , 2cC^b a.-\-f^ =0 ^ on aura 



o 2ccl—fb C naf—db ,, , ,, . . , ,,, 



7-= ,—7 : — , 7- = 1-7 — ; — ; d ou 1 on voit que si dans 1 equa- 



fl bb — Aac Q bb — iac .^ ,. s - • 



tion proposée on fait immédiatement rfr>'f * 4 aidmon 

 y +"2 cd — fb __z^r/^af — db p^j^jj^,. 



îa transformée sera 



ay'^-^by'z'-\-cz'^ z=—(af--bdf-\-cd') (bb—iac)—g(bb-'fi:ac)K 



Je remarque maintenant qu'on peut supposer que les coeffioi^ns 

 a ^ b ^ c des termes du second degré dans l'équatiou proposée , 

 n'ont pas de diviseur commun ; car s'ils avoient un commun divi- 

 seur «, il faudroit que dj+fz+g fût aussi divisible par «j or 

 celte condition est facile à remplir , en introduisant une indéter- 



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