QUATRIÈME PARTIE. 455 



soient des entiers. Or on a 



F=^"-t- "'^ f'"^'\''(bb — 4acJ)+ &c. 



1 . 2 



1.2.3 



Ainsi en substituant les valeurs de i^ et G , on voit que la ques- 

 tion se réduit à déterminer n de manière que les quantités 



^^ ^ ^^ L^ j soient des entiers. Pour cela , 



bb — 4ac bb-^kac 



nous distinguerons deux cas , selon que n est pair ou impair. 



Soit 1°. n — im^ l'équalion ?"— 4'(f^'— 4a(?;= i , donne , en 



négligeant les multiples de b'—kac, r"= i 5 on peut donc, au 



lieu de a et (?, mettre «?''" et C^'", et alors supprimant le facteur ?'■" 



qui ne peut avoir aucun diviseur commun avec Z>^ — 4ac, on 



trouve que la détermination de m ne dépend plus que des équations 



du premier degré 



bb — 4ac ' bb — 4ac 



lesquelles doivent s^accorder entr^elles , pour que l'équation pro- 

 posée soit résoluble en nombres entiers. 



Soit 2^. n=2w+ 1 , alors , en négligeant les multiples de 

 bb—kac^ on aura encore ct—ctf"" et é'r=:C?^'% et la détermi- 

 nation de m dépendra des équations du premier degré 



bb — 4ac bb — 4ac 



lesquelles doivent encore s'accorder entr'elles. 



Donc dans tous les cas on trouvera les valeurs convenables de 

 l'exposant n par la simple résolution d'une équation indéterminée 

 du premier degré , et la valeur de n qui résultera de cette solution 

 étant en général de la forme v-\-(bb — iac)k, où k est une in- 

 déterminée , il s'ensuit qu'on aura une infinité de valeurs de n 

 qui satisferont à la question j de sorte qu'on aura aussi une infi- 

 nité de solutions de l'équation proposée en nombres entiers. On 

 doit d'ailleurs observer que les nombres F ei G peuvent être pris 

 chacun avec le signe qu'on voudra , ce qui donnera quatre combi- 



