454 THÉORIE DES NOMBRES. 



naisons à examiner séparément , et d'où pourront résulter diffé- 

 rentes solutions. 



(391) Soit proposé maintenant , pour compléter cette théorie, 

 de résoudre la question suivante ; 



hes nombres Y et O étant donnés par la formule (? + 4\/A)" 



= F + G v/A , dans laquelle l' exposant n est indéterminé , et oîi 



Von a f" — 4^A = 1 , trouver toutes les valeurs de n telles que la 



quantité aF + ^wG + c soit divisible par un nombre premier &> , qui 



ne divise pas K'\-. 



Voici une méthode qui a été indiquée pour cet ohjet par Lagrange 

 (Mém. de Berlin, 1767). 



Je suppose d'abord qu'on connoisse une valeur de l'exposant n 

 qui satisfait à la question 5 soit cette valeur p , il faudra qu'en 



faisant (^ + 4-^^^/ =f-[-g\/^^ , la quantité -^^ soit un 



entier. Je cherche ensuite un exposant q , tel qu'en faisant 

 (ç> + 4-v'^)' =f-i'g V^^ i le nombre g^' soit divisible par w. Il est 

 certain que cet exposant existe , puisqu'on peut toujours satisfaire 

 à l'équation x'' — ^ m'^j'- =. 1. Cet exposant étant trouvé , on peut 

 supposer en même temps que/' — 1 soit divisible par wj si cela 

 n'éloit pas , on doubleroit l'exposant q ; et faisant (p-i-^V''-^/'' ^^ 

 Cf+gV^r=f"+gV-^, on auroit/'=/^ + ^^'===i+:2^^'% 

 et g"=2f'g\ de sorte que y' — 1 et g' seroient à-la-fois divisibles 

 par w. Donc en faisant les préparations convenables , on trouvera 

 toujours un exposant q. tel qu'en faisant (?i-'^y/^J-=f^+g \/^, 

 les nombres f — j et g soient l'un et l'autre divisibles par «. 



Je dis maintenant qu'en prenant n = qx-i-p , la quantité pro- 

 posée hF+f^G + V sera divisible par &>, quel que soit l'entier x. 

 Car soit (f+g'[/^r^r+G']/^^, on aura F+G\/^ 

 ^(f^gV^) (F'^G'\/^) , d'où l'on tire F ■=^fF' -^g^G\ 

 ^=/^'+^^', et KF\i^G^v=(Kf^y.g)F'-\-(Kg_A-\-uf)G'-\K 

 Maïs les valeurs développées de F' et G' étant i^' =/'^ + 



__! — '-f''-^g^^\- &c. , G' =nf'-'-'g'-\- &c. , si on néglige les 

 uaultiples de &!, on aura G'= o , et F' =f^ z=\ -, donc en négli- 



