Q U A T R I È M E P A R T I E, i55 



géant les mêmes multiples , la quantité ?^F-\-iy.G^v se réduit à 

 ^f-i-i^g-i-v , donc elle est divisible par &>. 



Puisque toutes les valeurs de n comprises dans la formule 

 n^=qx 4-/7 satisfont à la question , il y aura toujours une de ces 

 valeurs qui sera moindre que q , de sorte qu'on pourra toujours 

 supposer/? < y. Donc pour avoir l'exposant p qui donne la pre- 

 mière solution , il faut élever ? + 4 V^^ à ses puissances successives 

 0,1,2,3... q — 1 , et essayer, pour chaque puissance repré- 

 sentée par /+^V^-^, si la quantité ^/+/^^-}-I' est divisible par «. 

 On peut aussi former directement la suite des quantités ^f-\-i^g, 

 en observant que cette suite est récurrente , et qu'elle a pour 

 échelle de relation 20, — 1 j d'où il suit qu'au moyen des deux 

 premiers termes connus a , a? + //4 5 on formera aisément tous les 

 autres. Ces calculs sont d'autant plus faciles , qu'on peut rejeter 

 les multiples de w, à mesure qu'ils se présentent , et si le problême 

 est possible , il faudra que dans les q premiers termes de la suite 

 dont il s'agit , on trouve une ou plusieurs fois hf-\- }/.g-\- v = o. 



(392) Connoissant l'exposant le plus petit 77 qui rend ^f+i^g-h^ 

 divisible par un nombre premier w , voici la méthode qu'on peut 

 suivre pour trouver a priori une valeur de n , telle que KF-\-y^G~>rv 

 soit divisible par une puissance donnée de «. 



Nous observerons d'abord , qu'on peut résoudre généralement 



l'équation— ^ = e, dans laquelle L 



Où 



et Jf sont des nombres donnés, et N , F , Q, &c. des fonctions 

 quelconques entières de x. Pour cela , il faudra déterminer x de 



L-\-Mx . . . ^ , / , ^' 



manière que — • soit un entier 5 ayant trouve x = i-\-u>x, 



Où 



si on substitue cette valeur dans l'équation proposée , elle ds^vien- 



âra de la forme —^ ^^ =e semblable 



à la proposée , mais dont le dénominateur est d'un degré moindre 

 d'une unité. On aura donc , par une suite de procédés semblables, 

 X = /i-00 x, X := l' + cùx" y x" — l'-i-cox^ &c. j d'où l'ou conclura 



