iSS THÉORIE DES NOMBRES. 



j. YlhAlÉTHODi: de Fermât pou?' la résolution de V équation 

 y2==a-+-bx-+-cx^-hdx^+ex'^ en nombres rationnels. 



(3g-4) Ayant été conduits à traiter fort au long de la résolution 

 des équations indéterminées , nous devons faire mention d'une mé- 

 thode indiquée par Fermât pour résoudre en nombres rationnels 

 Vè<\\iSi\.ioTi y'' = a-\-bx-\-cx^-\-dx'^-{-ex^ y dont le second membre 

 est un pol3mome rationnel où la variable ne passe pas le qua- 

 trième degré. Voici les cas principaux dans lesquels la résolution 

 est possible. 



1**. Si le nombre a est égal à un quarré positif/*, les valeurs 

 X ^=0 , y =f donneront immédiatement une solution de l'équation 

 proposée. Pour avoir une autre solution , on supposera a-Ybx-'ir 

 cx^' + dx^ ^ex^=^(f-\-gx-^hx^y^ ce qui donnera , en développant 

 et ordonnant , 



o =/*' + "^fs^ i" 2 /^ x^'-^-igh x^ 4- h^'x^ 

 — a — b ■{■g' — d — e 

 — c. 

 Or on a déjà f^ ^=a ; si pour faire disparortre les deux termes 

 suivans , on fait 2.f g — b = o y 2fh-\-g' — c= o , on en tirera les 



b c — ^* 



valeurs des coefficiens p- et A , lesquelles seront £^= — v, h = — —* 



Alors l'équation étant réduite aux seuls termes qui contiennent xr^ 



et x^^ il en résultera une valeur rationnelle dtie x y savoir x ■=■ :; — . 



Cette valeur donnera donc une nouvelle solution en nombres ra- 

 tionnels de l'équation proposée j si toutefois on n^a pas igli=^d^ 

 ni <?=A*. 



La nouvelle solution étant désignée par x^m, si l'on fait gé- 

 néralement x= m + x\ et qu'on substitue cette valeur dans l'équa- 

 tion proposée j^ le second membre deviendra de la forme «'-f-è'x^ 

 -tc'x'^-^-dx'^-i-e'x'^^ dans laquelle a' sera encore un quarré positif. 



