QUATRIÈME PARTIE. 459 



On procédera donc de la même manière pour trouver une nouvelle 

 valeur de a;', et ainsi à l'infini. D'où l'on voit qu'une première 

 valeur connue de x suffit pour en faire trouver une infinité d'au- 

 tres , sauf quelques cas particuliers qui ne peuvent guère avoir 

 lieu que lorsqu'il est absolument impossible de résoudre l'équation 

 proposée autrement que par les premières valeurs données. 



2°. Si le coefficient e du terme ex^ est égal à un quarré posi- 

 tif A% on fera a+bx + cx'-^dx^ + ex^ = (fi-gx-irhx')% ce qui 

 donnera , en développant et réduisant , 



0= f^-\-2fgxi-2fhx''-^2ghx^ 



— c 

 Maintenant on peut faire disparoître les ^* et a;' , en prenant 



g^= — , / = ~- , et alors lequation réduite au premier degré , 



2/î 2 / î 



donne x=:—^ -. Cette solution en fournira ensuite une infinité 



d'autres comme dans le cas précédent , mais il faut qu'on n'ait pas 

 ^fg—b — o. 



5". Si l'équation proposée est de la forme j/*=/*^ + ^:r-rc vT** -1- 

 dx^-^-h^'x^ , en sorte qu'elle tombe à-la-fois dans les deux cas pré- 

 cédens , on pourra faire usage de chacun des moyens indiqués. 

 On peut aussi tout d'un coup faire y:=f~'rgx^±:hx''f ce qui 

 iion2îera^ en substituant, développant et réduisant, 



0= 2fgx:±:.2fhx^-à=.2ghx^. 

 — h -^g^ ^d 



Or on peut satisfaire à celle-ci de deux manières , soit en faisant 



b . . c — ffz^ifh . .. ^ d 



ff= — >,ce qui donne x = — ; — "—- , soit en taisant p-= =±=-7-, 



2/ :±:2gh — d 2/1 



2 fs^ — b 

 d'où l'on tire x = ^-^ — -. 



4°. Si on a une solution désignée par x = my on fera x = m+x\ 

 et l'équation sera ramenée au premier cas. 



Nous pourrons ajouter un grand nombre d'applications de cette 



M mm 2 



