ADDITIONS. 465 



En eiFet les deux nombres dont il s'agit sont diviseurs de la for- 

 mule f-i-ôu", leur produit doit donc être diviseur de cette même 

 formule j mais ce produit sera toujours de l'une des formes linéaires 

 so.T+i, 20x+g, donc il sera en même temps de la forme qua- 

 dratique j'^-i-ôz''. On prouveroit la même chose plus directe- 

 ment par la formule (2m^ -^ 2 m 7i + 5 7i^ ) ( ip" ■\- n-pq ■^-'àq' ) 

 ^=^('2pm +p n-\-qm — iq n)"- + 5(q m +p 7i'{-q n^. 



Troisième Partie , n°. 273, 



Les trois équations ///v = 5, ^i'A = 9, 7iA/!/ = i5, suffisent pour 

 déterminer à-la-fois les six quantités x,/^,;/, f^g^h. Car a,//, 1/ 

 représentent les diviseurs communs entre deux des trois nombres 

 5,9, i5 j on a donc d'abord a = 5,/x = 5, i'=i. On trouve ensuite 



Troisième Partie , Théorème X. 



Il faut bien observer que l'exception c^=y*-^.Nz^ doit être limi- 

 tée elle-même par la condition que z ne soit pas zéro , sans quoi 

 l'exception comprendroit tous les cas , et le théorème deviendroit 

 illusoire. En effet z étant la même chose que ce qui est appelé ? dans 

 le cours de la démonstration , si on faisoit (p=o, on auroit y'C — yC'=o, 

 a'y — cty=o. De-là , à cause de cz=a.''-\-C^-Jry''=^ct"'-\-C'^-Jry'\ on 

 concluroit « = <*', Cz=zC' jy = y' -^ donc on auroit aussi a = a', ;w =r i^\ 

 V = /, ^ = _^', B = B\ C= C'y de sorte que les deux formes de N 

 que l'on compare , seroient déduites d'un seul et même diviseur 

 quadratique f^^'x^-^-i/.'x'^ ■^v^x"' ^ avec les mêmes valeurs des indé- 

 terminées. Ces formes ne seroient donc pas , comme on le suppose , 

 le résultat de deux combinaisons différentes. 



Troisième Partie y Théorème XJ^l, 



Le Théorème XVI , considéré en lui-même et dans ses consé- 

 quences multipliées , est , sans aucun doute, une des plus belles et 

 des plus fécondes propositions de la théorie des nombres : mais sa 

 démonstration qui d'abord paroît suivre immédiatement du Théo^ 

 rême VIII, présente successivement des difficultés que nous n'avons 

 pu lever entièrement , et qui exigent des recherches ultérieures. 



Non 



