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On a démontré rigoureusement , n". 3i8 , que le Théorème XVÎ 

 a lieu pour tout diviseur proposé cj^' + i byz-^-az''^ si parmi les 

 nombres moindres que iV^ compris dans ce diviseur, ily a seulement 

 un nombre c qui n'ait aucun facteur quarré commun avec N , et qui 

 en même temps ne satisfasse pas à réquationc'=j/'''4-iVz''oùz doit 

 être >• o. La difficulté consiste donc à s'assurer a priori qu'il existe 

 toujours un pareil nombre dans tout diviseur réciproque proposé. 



La première condition est toujours facile à remplir , ainsi que nous 

 l'avons fait voir n°. 320 j quant à la seconde , il-n'est pas nécessaire 

 qu'elle le soit dans toute son étendue. Car quand même on auroit 

 l'équalion c'' =j^'' + H z^ , si les deux valeurs trinaires de c qui ont 

 conduit à cette équation (n". 292) sont différentes , le fondement 

 delà démonstration du n°. 3 18 subsistera dans son entier, puisque les 

 deux combinaisons qui donnent les valeurs trinaires correspon- 

 dantes de iV"et de c sont différentes l'une de l'autre , et doivent se 

 retrouver telles dans les diviseurs de t'^-^Nii'^. Les seuls cas , par 

 conséquent , qui peuvent nuire au succès de la démonstration du 

 n". 3i8, sont ceux où le même diviseur quadratique de r + cw'', 

 dans deux formes trinaires qui répondent à une même valeur trinaire 

 de c , et dans deux suppositions différentes pour les indéterminées 

 qui le composent , donneroit deux formes trinaires identiques pour 

 le nombre iV". 



En poussant plus loin ces considérations , on pourroit peut-être 

 apporter quelque perfectionnement à la démonstration du Théo- 

 rème XVI 5 mais pour rendre cette démonstration absolument 

 complète , il restera toujours à examiner le cas ou le quarré du 

 diviseur proposé seroit de la formej^'^ + iV^'^. Car quoique nous ayons 

 prouvé que ce cas particulier rentre dans ceux des n°* 3i3 et 3i4 ,. 

 il faut observer que la démonstration de ceux-ci suppose que le 

 nombre auxiliaire c ou 2b n'a point de facteur quarré ^ et c'est dans 

 cette supposition seulement que la note de la page 377 est exacte ; 

 autrement on pourroit satisfaire à l'équation ^hb^^ç^^+N-^-^, en 

 prenant toujours 4=1 , et ensuite b = m'' , 2a = 5 7?i'' — /z% 

 JSf^^iab — b b = nt ('4 nî" — rî"). Il y auroit donc alors une infinité 

 d'exceptions à la démonstration des Cas 1 et II, lesquels influent sur 

 les autres Cas. 



