468 ADDITIONS. 



9225jK*+ 18 12JK -2 + 982' 



g225j'' + 3288jZ+2(^'5z'' 

 92 25j'^ + 9012jJ/Z + 220I Z'', 



ce qui s'accorde avec la règle précédente. 



De même si on a iV= 5^, 1 1 . 1 7 , c = 5^.2 , on trouve par cette 



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tègle que c est contenu ^.3. ou 1 7 fois dans les diviseurs 



quadratiques de la formule T + Nu^ ; et il faut observer que la frac- 

 tion 7 estl'indice d^un diviseur quadratique dont deux coefficiens sont 

 égaux. On trouve en effet , dans ce cas , les deux diviseurs quadra- 

 tiques i62y''~\-biy z + CjSz"", 162^''+ iGaj/zH- i34-s% où l'on voit 

 que le second est compté pour 7, parce qu'il ne répond qu'à deux 

 formes trinaires de iV, tandis que l'autre en comprend quatre (Voy. 

 n^ 279). 



La règle précédente à laquelle il faudra apporter quelques modi- 

 fications pour la rendre absolument générale , indique assez que la 

 circonstance du facteur quarré , commun entre JV^ et c , ne fait 

 qu'augmenter dans une même proportion le nombre des formes 

 trinaires correspondantes de iV^ et de c , de sorte que l'on trou- 

 vera toujours 2'~* pour le nombre des formes trinaires de chacun 

 des diviseurs réciproques dans lesquels c est contenu. Mais pour 

 pouvoir tirer cette conclusion avec certitude , il faut prouver que 

 dans tout diviseur réciproque de la formule T-f A^i/% il existe tou- 

 jours un nombre c qui ne tombe pas dans l'exception du Théorème X. 



Pour cet eifet, soit fy^ -jr 2 gj z -\- h z^ le diviseur proposé réduit à 



son expression la plus simple , en sorte qu'on ait 2g<,f et h y et 



/<V/yiV;,- si le nombre / est <{/Ny l'équation /"=:j^"-fiV sera 



impossible , et ainsi on pourra prendre c=f, ce qui est un premier 



cas très-étendu où le choix du nombre c n'aura aucune difficulté. 



Si on a/> y/iV", j'observe que les trois plus petits nombres com- 

 pris dans le diviseur proposé ^^ + 2^;/z + ^2% savoir/, h,f—2g-\-hy 

 sont chacun plus petits que 2\/N. Car on a déjà jf<\/yiV; on a 

 en même temps />\/iV Gtfh<jN, ce qui donne h<^\/N; 



