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soît/^Ci+«; V/-ZV, ^ = ^1 +^; \^ N, on aura g'^fh^N 



:=(:t-\-C-{-ctC)Ny donc/— 2^+A=[2+a + ^— 2\/(f^ + C+«^;]v/iV. 



Maison a a<— i + y/j, ^<y, àonc^y" (a-\-Q'\-aC) est plus grand 

 que A + C ; donc / — 2 ^+ A est plus petit que 2\/ N. 



Les trois nombres f, h , /— ng-^h , étant chacun plus petits que 

 2 v/iV, si on appelle c Fun d'entr'eux , et que Féquation c^='y^ + Nz" 

 soit possible , il faudra qu^on ait 2 = 1 , ou c:=y^-\-N. Cela posé, 

 il y a difFérens cas à examiner selon les diverses formes du nombre N. 



Soit 1". iY double d'un impair, en sorte que la formule t^-^Nh^ 

 appartienne à Tune des Tables X ou XI , Téquation 6-^=7^ + -Y sera 

 impossible , parce que c^ — y"^ est toujours ou impair ou multiple 

 de 4. Donc on pourra prendre pour c celui qu'on voudra des trois 

 nombres/^ h , f — '2g-\-h , et Texception du Théorème X n'aura 

 lieu pour aucun d'eux. 



2°. Soit iVde la forme 4;z+ 1 , en sorte que la formule t^'-^-Nu^ 

 se rapporte à la Table VIII , il est évident que des trois nombres 

 f^h^f — 2^+^î il y en aura au moins un pair. Or je remarque 

 que si c est pair , l'équation c''=y''-\-N , ne peut avoir lieu , parce 

 que c^ — j" est de la foi me 47z , si j est pair , ou de la forme 4/2 — i 

 si y est impair, de sorte que cette quantité n'est jamais de la même 

 forme que N . Donc on pourra prendre pour c le nombre pair ou l'un 

 des nombres pairs qui se trouvent parmi les trois nombres /j h^ 



3^. Enfin si. le nombre N est de forme 8 /z 4- 3 , ou si le diviseur pro* 

 posé appartient à laTable IX ,il conviendra de mettre ce diviseur sous 

 la forme 2/y * + 2^j/2-f- 2^^;*, où l'on a à l'ordinaire /*,§•, h impairs 

 et ^fh — g g =^ N. Dans ce diviseur, les trois nombres 2/, 2 h, 

 D,f — 1 g-^-nh seront toujours plus petits que i2^/iV, mais on ne 

 voit plus , comme dans les cas précédens , rien qui empêche qne ces 

 trois nombres ne satisfassent , chacun en particulier, à l'équation 

 c*=j/* + iV. Si cependant l'un d'entre eux a un commun diviseur 

 avec N , on peut prouver que quand même l'équation c*=j'^-f-iV^ 

 seroit satisfaite , le nombre c ne tombera pas dans l'exception du 

 Théorème X. 

 En effet si les nombres iV"et c sont divisibles par un même nombre 



