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et il suit de ces formules , que tout nombre compris dans l'une ou 

 dans l'autre , a son quarré de la forme f-^Nu'' ; il faut seulement 

 en excepter les deux cas particuliers qui font évanouir le coefficient 

 de N. Ces cas sont dans la première , y= 1 , z= i , et j= 1 , z= — 1 ; 

 d'où résultent les valeurs exceptées c = 4y4-2g', c=zif — 2^, 

 dont les moitiés sont diviseurs de JV. Dans la seconde , les cas 

 exceptés sont pareillement ^ y = o , z=: 1 et y = 2 , z= — 1 , d'où 

 résultent c= 2 g, c = 8f — ig , dont les moitiés sont encore divi- 

 seurs de N. On voit donc que le résultat de ces formules s'accorde 

 parfaitement avec l'analyse précédente et celle du Théorème Xj 

 c'est ce qu'on peut vérifier sur le diviseur 58y~{-22yz + '58z'', 

 où l'on trouve deux nombres propres à être pris pour c , savoir 

 38 — 22 + 58 ou 54 , et 58 + 22 + 38 ou 98. Ce dernier satisfait à 

 l'équation c'' = j^ + iV , mais il a un commun diviseur avec iV. 



Pour revenir à notre troisième Cas , où le diviseur proposé relatif 

 à la TahlelX est 2 fy-Jr^^gjz-\-2hz% si l'un des trois nombres 2/, 2/1, 

 ^/~ 2g-{-2h , pris pour c, ne satisfait pas à l'équation c'=j^^ + iV, 

 ou si l'un d'eux a un commun diviseur avec iV, ce nombre sera celui 

 que l'on cherche , et toutesles valeurs trinaire&de iV'considéré comm© 

 diviseur de t^ + cii% seront différentes entr'elles. Le nombre dont 

 il s'agit se trouve immédiatement lorsque le diviseur proposé a deux 

 coefficiens égaux , c'est-à-dire, lorsque son quarré est de la forme 

 j/" + iV2%- et cette remarque ajoute le complément qui manquoit à 

 la démonstration du Cas II (n^ 5i4). Lorsque/, g, h seront 

 inégaux , il est bien peu probable qu'on ait à-la-fois les trois équa- 

 tions 4:f=y+N, ^h^=y^+jsr, (2f^2g+2hr=y^+jv, ou 



que du moins l'un des nombres 2/, 2A, 2f-^2g+2h, n'ait pas un 

 diviseur commun avec iV. Si cependant toutes ces conditions se 

 trouvoient réunies , il faudroit chercher parmi tous les nombres 

 moindres que N , compris dans le diviseur 2fy + 2gjz-i'2 hz^ 

 un nombre c qui ne satisfit pas à l'équation c^ =y'-i-]S'z\ On en 

 peut trouver d'autant plus facilement , que si tous les nombres 

 compris dans le diviseur 2fy^ + 2gj z + 2 h z' dévoient satisfaire à 

 l'équation c= :=^y + Nz% il faudroit que ce diviseur eût deux coeffi- 

 ciens égaux , et qu'il retombât ainsi dans le cas déjà résolu. 



