Abteilung I. 



Die allgemeine projeetive Gruppe der Ebene und einige ilirer 



Untergruppen. 



Die Begriffe der Gruppentheorie wollen wir dadurch einführen, 

 dass wir sie zunächst an einigen besonders wichtigen und bekannten 

 Gruppen der Ebene erläutern, an der allgemeinen projectiven Gruppe 

 und einigen in ihr enthaltenen Gruppen. Erst die zweite Abteilung 

 wird uns zu den allgemeinen Theorien führen, mit deren Hülfe sich 

 die Betrachtungen des Jetzigen Abschnittes an vielen Stellen bedeutend 

 abkürzen Hessen. Wir finden es eben zweckmässig, zuvörderst zur 

 Lösung der sich darbietenden einzelnen Probleme specielle Methoden 

 anzuwenden. 



Kapitel 1. 



Projeetive Transformation der Geraden nnd der Ebene. 



In diesen Vorlesungen beschäftigen wir uns vielfach mit geome- 

 trischen, insbesondere mit sogenannten projectiven Theorien in der 

 Ebene. Da wir jedoch die Kenntnis der projectivea Geometrie nicht 

 voraussetzen, vielmehr manche wichtige Theorien derselben erst ent- 

 wickeln wollen, so erscheint es zweckmässig, zunächst den Grundbegriff 

 der projectiven Geometrie, das Boppelverhältnis, kurz zu besprechen. A\i- 

 dann führen wir den Begriff: p-ojedive Transformation auf der Geraden 

 lind in der Ebene ein. 



§ 1-. Das Doppelverhältnis. 



Sind auf einer Geraden vier Punkte A, B, C, D gegeben (Fig. 1), 

 so kann man in verschiedenen Weisen aus den Quotienten ihrer 

 Abstände von einander sogenannte Doppelverhältnisse bilden. So ist ^g^J^lftaig. 



AB ^AB 



CB'CD 



Lie, Continuierliclie Gruppen. 1 



