2 Kapitel 1, § 1. 



eines dieser Doppelverhältnisse, Wir bezeichnen es zur Abkürzung 

 mit {ABCB), sodass 



sein soll. Indem man die Punkte A, B, C, B auf alle möglichen 

 Weisen permutiert, erhält man im ganzen 1 • 2 • 3 • 4 == 24 Doppel- 

 verhältnisse der vier Punkte Ä, B, C, B. Wir wollen uns aber nur 

 mit dem einen oben angegebenen beschäftigen. 



Zu seiner vollständigen Definition muss noch hervorgehoben werden, 

 dass die Strecken AB, CB, AB, CB in der in 

 "o o o o > ^^^ analytischen Geometrie gebräuchlichen Weise 

 ^,. , mit Vorzeichen versehen zu denken sind. Setzt 



man in Fig. 1 den positiven Sinn in der Richtung 

 des Pfeiles fest, so sind also in dieser Figur AB, AB und CB 

 positiv, während CB negativ ist, sodass {ABCB) einen negativen 

 Wert hat. Bei ümkehrung des Sinnes ändert es offenbar sein Zeichen 

 nicht. Lägen die Punkte A, B, C, B nicht gerade in dieser Reihen- 

 folge auf der Geraden, so könnte (ABCB) auch 

 positiven Wert, haben. 



Es mögen nun andererseits (Fig. 2) durch einen 

 Punkt vier Strahlen a, b, c, d gezogen sein. Für 

 die Messung ihrer Winkel (ah) u. s. w. setzen wir 

 einen positiven Drehsinn um fest, etwa in der 

 Richtung des Pfeiles, sodass (ah) positiv, (ch) da- 

 ^^^ ^' gegen negativ ist. Man kann nunmehr aus den 



Quotienten der Sinus dieser Winkel Boppelverhältnisse bilden, unter 



anderen dieses: 



sin {ah) _ sin {ad) 

 sin (c b) ' sin (c d) ' 



das wir mit (ah cd) bezeichnen: 



^ ^ 'sin (c b) ' sin (c d) 



Permutieren wir a, h, c, d, so ergeben sich ins- 

 gesamt 24 Doppelverhältnisse der Strahlen a,h,c,d. 

 Schneiden wir die vier Strahlen durch eine 

 g Gerade g (Fig. 3), die a, h, c, d bez. in A, B, C, B 

 treffe. Alsdann ist, wenn wir zunächst vom Vor- 

 T,. „ zeichen absehen: 



±lg. o. 



AB _ sin (g^;) OB sin {cb) 



AO ~ sin {bg) ' 7T0 ~ eui~(bg) ' 

 also auch 



AB _ AO _ sin (ab) 

 cb' CO ~ ^ij^Jcft) 



