Analog ist 

 sodass schliesslich 

 oder 



Das Doppelverhältnis. 



AD ^ AuO sin^(a^ 



ClÖ ' 'CO sin (cd) ' 



AB AB sin [ah) sin (ad) 



CB' CD sin {cb) ' sin (cd) 



{ABCB) = {ahcd) 



ist. Mau überzeugt sich leicht davon, dass diese Formel auch in bezug 

 auf das Vorzeichen stets richtig ist. Hiermit ist der Satz bewiesen: 



Satz 1: Bas Boppelverhältnis eines Vierstrahls ist gleich dem Boppel- 

 verUiltnis der vier Punkte, in denen der Vierstrahl von einer Geraden 

 geschnitten wird. 



Ebenso ist natürlich auch {ABBC) = {aide) u. s. w. 



Unmittelbar folgt als Zusatz der sogenannte Satz des Pappus: 



Satz 2 : Ein VierstraM wird von allen Geraden in demselben Boppel- 

 verMUnis geschnitten, 

 sowie : 



Satz 3: Alle Vierstrahlen, die durch dieselheu vier Punläe einer 

 Geraden gehen, haben dasselbe Boppelverhältnis. 



Es braucht kaum bemerkt zu werden, dass bei der Bildung des 

 Doppelverhältnisses stets vorausgesetzt wird, dass die vier Strahlen 

 in derselben Reihenfolge wie die vier Punkte genommen worden sind. 



Man erkennt durch wirkliche Berechnung leicht, dass das Doppel - 

 Verhältnis 



{ABCB) == (BADC) = {CBAB) = (DCBA) 



ist. So sind überhaupt je vier der 24 Doppelverhältnisse der Punkte A, B, C, B 

 einander gleich, sodass es nur sechs verschiedene Werte derselben geben 

 kann, die im allgemeinen auch wirklich verschieden sind. Setzt man nämlich 



{ABCB) = Je, 

 so ist 



(ABCB) = 1c, {ABCB) = ^, {ACBB) = l — k, 



{ABBC) = ^^, {ABBC)==-^-^^, {ACBB)=^^- 



Diese sechs verschiedenen Werte des Doppelverhältnisses von vier Punkten 

 fallen zu je zweien zusammen, wenn Iv = — 1 ist. Man sagt, dass die 

 vier Punkte A, B, C, B ein harmonisrhes Doppel Verhältnis bilden, wenn 



(ABCB) = — 1 



ist, und nennt dann A, C und B, D harmonische Punktepaare. Die sechs 

 Werte des Doppelverhältnisses reducieren sich dann auf die drei: — 1, 2 



