4 Kapitel 1, §§1, 2. 



Wenn von den vier Punkten Ä, B, C, D einer, etwa B, unendlich 

 fern liegt, so ist 



(AT>nT)\^'^ J^ _ ^B AG -\-CB _ AB 



Liegen vier Punkte A, B, C, D auf irgend einer Geraden in der 

 Ebene und sind, bezogen auf ein rechtwinkliges Axensystem, a, h, c, d 

 ihre Abscissen, so ist das Doppelverhältnis: 



f A 'RP Ti\ h — a d — a a — ha — d 



^ ^ 6 — c' d -- c c —b ' e — d 



Nennen wir andererseits, wenn a, h, c, d irgend welche Zahlen sind, 



den Ausdruck 



a — b ^ a — d 

 c — b ' c — d 



das Doppelverhältnis der vier Zahlen, so können wir also sagen : 



Satz 4: Das Dopjpelverhältnis von vier Punkten einer Geraden ist 

 gleich dem DoppelverJiältnis ihrer Äbscissen oder ihrer Ordinalen. 



Schliesslich heben wir hervor, dass, wenn a, h, c und das Doppel- 

 verhältnis seinem Werte Je nach gegeben sind, alsdann aus 



a — b a — d , 



c — b ' c — d 



stets ein und nur ein Wert für d hervorgeht. Dies sprechen wir 

 so aus: 



Satz 5: Sind drei Elemente a, b, c eines Doppelverhältnisses und 

 ist auch ,di€ses seinem Werfe Tz nach gegeben, so bestimmt sich das fehlende 

 Element x eindeutig aus der Forderimg: 



{ab ex) = k. 



§ 2. Projective Transformation der Geraden. 



Nehmen wir nunmehr an, es seien auf zwei Geraden g und g^ 

 drei Punkte Ä, B, C bez. Ä^, B^, C^ gegeben. Ferner nehmen wir 

 auf der einen Geraden g einen Punkt X ganz beliebig an. Alsdann 

 kann man nach solchen Punkten Xj der Geraden g^ fragen, die 

 mit^i, J5j, Ol dieselben Doppelverhältnisse bilden, wie X. mit A, B, G. 

 Hierzu ist notwendig und hinreichend, dass 



{ABGX) = {A^B^G^X;} 

 sei. 



Führen wir auf der Geraden g von einem Punkte aus gemessene 

 Äbscissen ein, indem wir — mit Berücksichtigung des Vorzeichens — 

 OA = a, OB = b, OG = c, OX = x setzen, und verfahren wir analog 

 auf der anderen Geraden g^, indem wir auf ihr 0^ wählen und O^A^ = «j, 

 Ol Bi = &i , 0] Ol =^ Cj', Ol Xi = Xi setzen, so wird : 



