Projective Transformation der* G craclen. 



r Aiiryv\—^^ ^X _ ÄO-i- OB AO-\-OX 

 {4JJ0JL) — cB' GX~~ CO -\- OB' CO + OX 



b — a X — a a — & a — x 



b — c ' X — c c — b ' c — X 



und 



Wir verlangen also: 



.. a — ha — X ttj — 61 _ Ol — x^ 



^ -^ c — b ' c — X Cj — &i ' ^1 — a?! 



Dies ist für x^^ eine Gleichung ersten Grades, ebenso für x. Jedem 

 Punkte X von g wird also gerade ein Punkt X^ von g^^ zugeordnet, 

 und umgekehrt gehört zu jedem Punkte X^ von g^ gerade ein Punkt X 

 von g. Es ist somit eine ein - eindeutige Beziehung zwischen den 

 beiden Geraden festgesetzt. Wenn insbesondere x = a wird, so wird 

 x^ = a^ u. s. w., d. h. den Punkten Ä, B, C entsprechen bei dieser 

 Beziehung gerade die Punkte Ä^, B^, C^. 



Die Gleichung (1) hat nach x^ aufgelöst die Form: 



Xt — 1 



^ VX -\- Q 



und ist nach x auflösbar, sodass Xq — v^ ^0 sein wird. 

 Wenn andererseits irgend eine Gleichung von der Form 



Xx -\- u, 



(2) X, = — -P" 



vorliegt, in der A, ^, v, q beliebig gewählte Werte haben, doch so, 

 dass Xq — ^v -^0 ist, so ordnet sie jedem Punkte (x) von g einen 

 Punkt {Xj) von g^ zu und umgekehrt. Nehmen wir insbesondere für x 

 drei bestimmte Werte a, h, c an, und bezeichnen wir die entsprechen- 

 den Werte von Xj^ mit «j, &i, q, so haben wir: 



,^. _XaJ-ji . _^&+f* . _ lc + (i ^ Xx + fi_ 



Nun ist das Doppelverhältnis der zu den Abscissen a, h, c, x gehörigen 

 Punkte Ä, B, C, X von g gleich: 



(ÄBCX) = ^ : "£| 

 und der zu a^, \, Cj, x^ gehörigen Punkte Jj, B^, C^, X^ von (/^ gleich: 



