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Kapitel 1, §§2, 3. 



Setzt man hierin die Werte (3) ein, so kommt: 



CA Ti r Y\ — (^« + i^) (^^ + P) — i^i + (i) (va + q) 



l^l^l^l-^J (ic + f.) {vi + 9) - {Xb + (l) {VC + Q) 



. (^q + < ^) (y^ + g) — ß^ + f*) (»« + q) 



• (ic -f fi) (fa; + P) — (^-^ + ^) (*c + e) 

 {Iq — fiv) (a — 6) _ {Xq — (iv) {a — x) 



{Iq — fiv) (c 

 a — b a — X 



— b) ' {Xq — II v) (c — x) 

 = {ÄBCX). 



c — b ' c 



Die durch (2) hergestellte Beziehung ist demnach genau die oben be- 

 sprochene: Jedem Punkte X von g wird der Punkt X^ von </, zu- 

 geordnet, der mit J-^, B^, C^ dieselben Doppel Verhältnisse bildet, VT^ie 

 X mit A, B, a 



Wir haben aber noch mehr bewiesen: 



Satz 6: Die Gleichung 



Xx 4- (i . I <-v 



X, = — , WO Xq UV =N 0) 



ordnet jedem Punkte {x) einer Geraden einen PunU (x^) einer Geraden 

 m und umgekehrt. Dabei sind die Doppelverhältnisse von irgend vier 

 Punkten der einen Geraden genau gleich den entsprechenden Doppel- 

 verhältnissen der zugeordneten vier Punkte der anderen Geraden. 



Wir können sagen: Die Gleichung (2) führt jeden Punkt (x) der 

 Geraden g in einen Punkt {x^ der Geraden g^ über, sodass die Doppel- 

 verhältnisse der ursprünglichen Punkte gleich denen der neuen Punkte 

 projective sind. Eiuc solche Überführung heisst eine projective Transformation 



Trans- • -i- n ^ 



formation. der Geraden g m die Gerade g^. 



Man kann diese projective Transformation leicht rein geometrisch her- 

 stellen: Wir legen die Geraden g und ^j, auf denen A, B, C, X und 

 A^, B^, C^, Xi entsprechende Punkte sind, so, dass A mit A^ zur Deckung 



kommt (Fig. 4). BB^ und CC\ werden sich 

 dann in einem Punkte U treffen. Der Strahl UX 

 schneide g^ in X\ Es ist dann nach dem Satz 

 des Pappus 



(ABCX) = {A^BiCiX'). 

 X' muss demnach mit dem Punkte X^ zusammen- 

 fallen. Man erhält also zu jedem Punkt X der 

 Geraden g den transformierten Punkt X, der 

 Geraden r/^, indem man diese mit UX zum 

 Schnitt bringt. 

 Satz 7: Liegen sivci projcdiv auf einander bezogene Geraden so, 'dass 

 ihr SclmitipunU — anfgefasst als Punkt der einen — sich selbst — auf- 

 gefasst als Punkt der anderen — entspricht, so gelten die Verhindungsstrahlen 

 je zweier entsprechender Punkte der Geraden sämtlich durch denselben Punkt. 



