Projective Transformation der Ebene. 7 



Man sagt dann, dass die projectiv auf einander bezogenen Geraden g 

 und /7i sich in perspectiver Lage befinden, und nennt U das Perspectiv iiäts- '^''''11°^^'^^ 

 ccntrmn. 



Wir werden später ausführlieh auf die projectiven Transformationen 

 der Geraden zu sprechen kommen. Hier bemerken wir nur noch, dass 

 wir die Geraden g und g^ zusammenfallen lassen können, indem wir 

 die Anfangspunkte der Abscissen auf beiden ebenfalls zusammenrücken 

 lassen. Alsdann stellt die Gleichung 



eine projective Transformation der Geraden in sich dar: Jeder Punkt (x) 

 der Geraden wird in einen Punkt (x^) derselben verwandelt. Dabei 

 ist jedes Doppelverhältnis aus vier ursprünglichen Punkten gleich dem 

 entsprechenden Doppelverhältnis der vier transformierten Punkte. Zu 

 bemerken ist, dass sich die Gleichung (2) auch in der Form einer 

 hilinearen jRelation zwischen x und x^^ schreiben lässt: 



vxx^ — ^x -{- QXi — ft = 0, 

 und dass umgekehrt auch jede bilineare Relation zwischen x und x^ 

 auf die Form (2) gebracht werden kann, sobald die Determinante 

 Xq — fiv 4= ist. 



Xi stellt sich als linear gebrochene Function von x dar. Danach 

 liegt es nahe, wenn man zu Transformationen der Ebene übergehen 

 will, die Coordinaten x^, ij^ der transformierten Punkte als linear ge- 

 brochene Functionen der Coordinaten x, y der ursprünglichen Punkte 

 anzunehmen. Indem wir dies so einrichten, dass auch umgekehrt x, y 

 linear gebrochene Functionen von x^, y^ sind, werden wir zu den pro- 

 jectiven Transformationen der Ebene geführt. 



§ 3. Projective Transformation der Ebene. 



Sind die Punkte {x, y) und {x^^, t/J zweier Ebenen E und E^ je 

 auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem bezogen worden, so stellen 

 zwei Gifeichungen von der Form 



(A\ ^ — Ol«; + &iy + Ci ^ q ^^ + \y -\- c^ 



W ^1 a^a; + ft32/ + C3' ^^ a,x + b,y + c, 



eine sogenannte projective Transformation der Punkte {x, y) der Ebene E 

 in die Punkte (x^^yi) der Ebene E^ dar. Dabei bedeuten die a, b, c 

 irgend welche Constanten. Beachtet werden möge, dass die Nenner 

 der rechten Seifen von (4) einander gleich sind. Den gemeinsamen 

 Nenner wollen wir mit N bezeichnen; wir setzen also: 



(5) N=asX-]-h_,y -jr c^. 



