8 Kapitel 1, § 3. 



Unsere Gleicliungen (4) ordnen jedem Punkt {x,y) der Ebene E 

 einen Punkt (x^^, y^) der Ebene E^ zu. Wenn wir nun die beiden 

 Ebenen E und E-^^ aufeinanderfallen lassen und in beiden dasselbe 

 Coordinatenkreuz zu Grunde legen, so stellen die Gleichungen (4) eine 

 Tr"insfor° P^ojcctwe Transformatiovi der Ebene in sich dar : Jedem Punkt {x, y) 

 "'Eb'ene!''''^^^ Ebene wird ein Punkt {x^,y^) derselben zugeordnet. Wir können 

 sagen, dass dann die Gleicliungen (4) jeden Punkt (a;, y) der Ebene in 

 einen neuen Punkt (x^, y^) derselben überführen. 



Künftig wollen Avir uns mit diesen projectiven Transformationen 

 einer Ebene längere Zeit beschäftigen. 



Warum gerade sie untersucht werden sollen, und warum man sie 

 Xyrojective Transformationen nennt, das sind i^ragen, die im Laufe unserer 

 späteren Betrachtungen beantwortet werden. 



\"e"wir/' ^s erhebt sich zunächst die Frage, ob die Gleichungen (4) auch 



^de1'Ti3-''i^^gekehrt zu jedem Punkte {x„y^) einen Punkt {x,y) liefern, mit 

 formatiou. anderen Worten, ob sie auch nach x, y auflösbar sind. Um dies zu 



entscheiden, betrachten wir die drei folgenden Gleichungen, die (4) und 



(5) ersetzen: 



INx^ = a^x -\- \y -\- c^^ , 

 Ny^ = a^x-\- h,y + Cg , 

 N = a^x -\- h^y -j- c^ . 



Ihre rechten Seiten sind als lineare und homogene Functionen von 

 X, y und 1 aufzufassen, deren Determinante lautet: 



% &i q 

 z/ = «2 &2 Ca 



ttg 63 Cg 



Es mögen ^^, jL^, A^ die zweireihigen Unterdeterminanten von ^ 

 hinsichtlich a^, a^, a.^ bezeichnen, es sei also: 



A- 





A = 



h, 



^3 "-3 I I ^1 ^1 . I "^i t-2 



und entsprechend seien B^, B^, B^ und Oj, C^, C.^ die zweireihigen 

 ünterdeterminanten von z/ hinsichtlich &i, h^, h^ und c^, c.^, c^, also 





Dann ist bekanntlich 



u. s. w. 



u. s, w. 



