Projective Transformation der Ebene. 9 



(7) h,A,-\-b,A,-}-d,A,=^0, 



\c,Aj^ + ^2^2 + ^3^3 = 0. 



Wenn Avir die Gleichungen (6) mit Aj^, A^, A.^ nmltiplicieren und 

 darauf addieren, so kommt also einfach: 



N{A^x^ + A^iJi + A.,) = zJx. 

 Ganz analog ergeben sich die Formeln: 

 N{B,x, + B,y, + B,) = ziy, 

 N{G,x, +C,y, + C,) = zJ. 



Ist nun die Determinante z/ 4^ 0, so können wir die beiden ersten 

 dieser Gleichungen durch die letzte dividieren, und wir erhalten 



(8) 



(9) 



^ -Bi ^'i + Pf. Vi +-B3 



als die Auflösung von (1) nach x, y. 



Wenn dagegen zJ == ist, so liefert (8): 



N{A,x, + A,y, + A,) = 0, 

 J^^(5,rr, + B,y, + i?3) = 0, 

 N(C,x,+C,y, +C3) =0. 



Wählen wir dann x, y beliebig, so wird N nicht gerade Null sein. 

 Es folgt also dann 



A^i + Avi + ^3 = 0, 



B,x, + B,y,-^B,==Q, 



C,x, ArC.y, +C,=0. 



Sind die zweireihigen Determinanten A, B, C nicht sämtlich Null, so 

 erfüllen daher x^, y^^ lineare Bedingungsgleichungen, die sich, wie man 

 leicht erkennt, auf nur eine Gleichung reducieren. Sind die Deter- 

 minanten A, B, C sämtlich Null, aber die Coefficienten a, h, c der 

 Transformation nicht sämtlich Null, so findet man, dass die x^, y^ 

 mvei verschiedene lineare Bedingungsgleichungen erfüllen. Ist z/ = 0, 

 so sind daher die Punkte (x^, y^ zum mindesten an eine Gerade in 

 der Ebene gebunden und können sich nicht, wie man auch x, y wählen 

 mag, von dieser Geraden entfernen. Wir erkennen somit, dass sich 

 alsdann x, y nicht als Functionen von x^, y^ darstellen lassen, da sonst 

 zu einem beliebigen Wertepaar x^, y^ ein Wertepaar x, y vorhanden 

 wäre, d. h. dass die Gleichungen (4) nicht nach x, y auflösbar sind. 



