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Kapitel 1, § 3, 



Bie Gleichungen (4) sind dann und nur dann nach x, y auflösbar, 

 ivenn z/ 4= ist, d. h. wenn die drei rechten Seiten von (6) oder also 

 die beiden Zähler und der Nenner von (4) gleich Null gesetzt die 

 Gleichungen dreier Geraden darstellen, die ein wirkliches Dreieck bilden. 



Im Falle z/ c= würden nach dem Gesagten alle beliebigen Punkte 

 (x, y) der Ebene durch unsere Transformation in die Punkte {x^, y^) 

 einer Geraden oder gar nur in einen Punkt übergeführt werden. Dies 

 tritt z. B. ein, wenn 



y ' -"^ y 



gesetzt wird, denn dann erfüllen alle Punkte {x^, y^) nur die Gerade: 



<2x,~y,-\-l = 0. 



^Transfer-" ^^^® derartige Transformation würden wir als ausgeartet bezeichnen im 

 mation. Gegcusatze zu einer solchen, welche alle Punkte {x, y) in neue Lagen 

 {x^, y^) überführt, die die ganze Ebene überdecken, sodass zu jedem 

 Punkte {x^, y^) auch ein ursprünglicher Punkt (x, y) gehört. 



Wir nehmen daher in allem Folgenden an, es sei die Determinante: 



Voraus- 

 setzung: 

 ^4=0. 



Inverso 



Nach den obigen Entwickelungen liefert die Auflösung der 

 Gleichungen (4) nach x, y wieder Gleichungen (9) von der Form 

 einer projectiven Transformation, welche die Punkte (x^, y^) in die 

 Punkte (x, y) überführt, also zu unserer ursprünglichen Transfor- 

 Trantfor- mation (4) invers ist. Diese wichtige Bemerkung zeigt, dass zu jeder 

 projectiven Transformation eine inverse projective Transformation 

 existiert, dass sich also alle projectiven Transformationen paarweis als 

 inverse Transformationen msammenordnen lassen. So ist beispielsweise 

 der projectiven Transformation: 



X 4- y 



/y L_±L 



iX/1 , 



als invers diese zugeordnet; 



X = 



2/1-1' 



y = 



Traiisfor- 



nation einer 



Geraden 



Betrachten wir nun alle Punkte (x, y) irgend einer Geraden 

 (10) ax + ßy-\-y = 0. 



Sie werden durch die projective Transformation (4) in neue Punkte 

 (x^, y^) übergeführt. Wir fragen nach dem geometrischen Ort der- 

 selben. Zu diesem Zweck setzen wir die Werte (9) von x, y, aus- 

 gedrückt in ^1, y^, in die Gleichung (10) ein und erhalten: 



