Projective Transformation der Ebene. 11 



Diese Gleichung aber ist, wenn wir noch mit dem Nenner C^x^ + Cg^/x 4" C'3 

 multiplicieren, linear in Xi, y^. Sie stellt folglich auch eine Gerade dar. 



Unsere lyrojective Transformation führt demnach eine beliebige Gerade 

 wieder in eine Gerade über. 



Wenn die vorgelegte Gerade insbesondere durch die Gleichung 



JV= a^x + &3!/ + C3 = Ö 



dargestellt wird, so werden die Coordinaten x^, y^ der Punkte, in welche 

 die Punkte {x, y) der Geraden übergehen, wegen der Gleichungen (4) 

 unendlich gross; wir sagen: Die Gerade N=0 wird durch die pro- 

 jective Transformation (4) in die unendlich ferne Gerade übergeführt, ^"f^'^n"*"^ 

 indem wir uns hiermit eine Ausdrucksweise der projectiven Geometrie Gerade. 

 aneignen. 



Betrachten wir alle Geraden (x, y), die von einem Punkte der 

 Geraden N = ausgehen. Ist 



(12) A,^ + A,2/ + A3 = 



eine beliebige Gerade, so wird jede Gerade, die durch den Schnitt- 

 punkt F derselben mit der Geraden N = geht, dargestellt durch 

 die Gleichung 



f (a^x + h^y + C3) + 9 {X^x -f L^y -f A3) = 



(13) oder 



I («3 + Q^i) ^ + (^3 + Qh) y + (^3 + Qh) = 0- 



Lassen . wir q variieren, so ergeben sich alle Strahlen des Büschels 

 mit dem Scheitel F. Eine Gerade (13) wird nun durch die projective 

 Transformation (4) nach (11) in die Gerade verwandelt: 



(«3 -f- ()AJ {Ä,x, + Ä,y^ + JL3) + (&3 4- Qk^) (B^x, -f B^y^ + B.^ 



+ (% + 9h) iC,x, -f C,y, + O3) = 0, 

 d. h. nach gewissen Beziehungen analog (7) in die Gerade: 

 i^Ä, + A,B, + A3C/O X, -f (A,^2 + ^2^2 + ^3^2) yi 



4-(A,^3 + A,I?3-f A3(73)+^=0. 



Lassen wir q variieren, so giebt diese Gleichung lauter Parallelgeraden, 

 da Q nur in dem absoluten Gliede vorkommt. Alle Geraden also, 

 die sich in einem Punkte F der Geraden N = schneiden, gehen 

 bei unserer projectiven Transformation in Parallelgeraden über, deren 

 gemeinsamer unendlich femer Punkt F^ — im Sinne der projectiven 

 Geometrie — als der Punkt aufgefasst werden soll, in welchen F bei 

 der Transformation übergeht. 



