Die allgemeine projective Gruppe. 13 



Kapitel 2. 



Die allgemeine projective Oruppe der Ebene. 



Wir haben im vorigen Kapitel eine bestimmte allgemeine pro- 

 jective Transformation betrachtet. In diesem Kapitel nun wollen wir 

 die Gesamtheit aller unendlich vielen projectiven Transformationen 

 ins Auge fassen, wodurch wir zu dem wichtigen Begriff: allgemeine 

 projective Gruppe der Eheste geführt werden. Wir werden alsdann 

 sehen, dass sich jede projective Transformation durch Wiederholung 

 einer gewissen unendlich kleinen projectiven Transformation herstellen 

 lässt. Dadurch werden wir zu den gleich wichtigen Begriffen: infini- 

 tesimale projective Transformation und eingliedrige projective Gruppe ge- 

 langen. 



§ 1. Die allgemeine projective Gruppe. 

 In unserer allgemeinen projectiven Transformation 



kommen neun Constanten «i, &i, q; «2? ^2» ^2! %? '^s; ^3 vor. Wir hatten 

 über die Annahme derselben nur die eine Voraussetzung getroffen, dass 

 ihre Determinante z/ nicht gerade gleich Null sei. Wir bemerken aber, 

 dass von diesen neun Coefficienten einer wegdividiert werden kann. 

 Wir könnten z. B., wenn Cg =|= ist, in (1) Zähler und Nenner mit c^ 

 kürzen. Alsdann wären 



«1 a^ «3 ^ bi &2 &3 ^ c, Cg 



zl 1 



p / p f p I p ' p f p 1 p y p ^ 



C3 1,3 Cj C3 O3 (.3 C3 tg 



die neun Coefficienten, von denen der letzte einen bestimmten Wert hat. 

 Demnach stellen die Formeln (1) sicher nicld mehr als 00^ verschiedene f' vmec- 



^ ■' tive Trans- 



projective Transformationen vor, indem zwei projective Transforma-f°''"'**^^"''"- 

 tionen (1), deren Coefficienten a, &, c sich nur um einen Propor- 

 tional itätsfactor unterscheiden, mit einander identisch sind. 



Man kann auch umgekehrt zeigen, dass zwei projective Trans- 

 formationen (1) nur dann dieselben sind, wenn die Coefficienten der 

 einen denen der andern proportional sind. Sollen nämlich die Glei- 

 chungenpaare 



^ 1 03« 4- ^3 2/ -f C3 ' -^1 a^x-{-bsy -{- C3 



und 



(2) X = "1^ + ^ y + Ci ^ ä^x - f b^y +c, 



«3«+^32/ + c, ' ' «a^+&3y+C3 



