14 Kapitel 2, § 1. 



dieselbe Transformation darstellen, so muss identisch 



und 



O3 ^ + &32/ + C3 «3«^ 4- ^3 2/ + «^^3 



sein. Es bestehen also dann identisch für alle x, y die Gleichungen: 



{a^x-^\y + c,) {ä^x + \y + Cg) = (ä^ a; + &i ?/ + cj (^a; + &3I/ + c.,\ 



{a^x + &2«/ + C2) («3^; + 63^ + C3) = (äga; + \y + Cg) («33; -\-\y-{- c^. 



Nun kann sich aber «1^ + ^1^ + ^i nicht nur um einen constanten 



Factor von a^x -\- \y -\- c^ unterscheiden, da sonst x^^ nach (1) eine 



. Constante wäre. Demnach muss zunächst nach der ersten Gleichung: 



ä^x + l^y ^Cy=h {a^x + \y + cj, 

 also auch nach der ersten Gleichung: 



%x + hy + c^ = 'k {a^x + \y + Cg) , 

 mithin nach der zweiten Gleichung: 



«2^ + hy + C2 = /c {a^x + l^y + Ca) 



sein. Hierbei bedeutet h eine Constante. Es müssen also die ä, h, c 

 den a, h, c proportional sein. 



Zwei projective Transformationen sind somit dann und nur dann 

 dieselben, wenn die neun Coefficienten der einen den neun Coefficienten 

 der anderen proportional sind. Gäbe es nun nur 00^ oder noch weniger 

 projective Transformationen, so müsste es noch andere Werte der 

 Coefficienten der zweiten Transformation geben, für welche diese mit 

 der ersten übereinstimmte. Es folgt demnach: 



Satz 1 : Es gieht gerade 00^ verschiedene projective Transformationen 

 in der Ebene. 

 lich^^con Unter den neun Coefficienten der allgemeinen projectiven Trans - 



stauten, formatiou (1) ist also einer und nur einer überzählig, oder: es sind 

 gerade acht jener Constanten wesentlich. 



a:^"rMge ^^^ wollcu nunmchr nach einander zwei projective Transformationen 



proj. ausführen : Zunächst setzen wir also : 



und darauf noch: 



(o\ ^ «1^1 + ß i Vi + V i ^ oiiXi + ß^yt 4- Y 2 



^^ '' 0.3^1 + (532/1 +73' ^' «30:1 + ^32/. +73" 



Die erste Transformation führt die Punkte {x, y) in die Lagen (ic^, ?/i), 



;weier 

 rransform 



