Die allgemeine projective Gruppe. 15 



die zweite die Punkte {Xy, y^ in die Lagen {x^^, y^) über. Diese Auf- 

 einanderfolge beider Transformationen lässt sich natürlich durch eine 

 einzige ersetzen, welche die Punkte (x, y) in die neuen Lagen (x.^, 2/2) 

 bringt. Um die Gestalt dieser Transformation der Coordinaten x, y 

 in die Coordinaten X2, y.2 zu finden, haben wir nur x^, y^ aus (1) 

 und (3) zu eliminieren. Dies giebt: 



a^ia.x + b^y + c,) + ^(«2«; + b^y + c^) -\- y^ia^x + b^y + c,) 



(4) 



^ a^ia.x + b^y + Cj) + ß^ia^x + b^y -f c^) + VsK« + hV + C3) ' 



= o^üC«!«^ + ^y + Ci) + P2 K«' + ^2^ + Cg) + Yiif^s^ + ^32/ + c,) _ 



^2 «3(0,0; -j- b^y + Ci) + ßsK« + hy 4- C2) + Yaias-'^ + hV + C3) " 



x^, y.2 drücken sich somit als linear gebrochene Functionen von x, y 

 mit gleichen Nennern aus in der Form 



U'\ ^ — fli'^^- ^iV + Ci _ a^x + b,2/ + c. 



(5) 



a^x + b^y + C3 ' '^- 030; + b.,?/ + C3 ' 

 in der 



hi = ai\ + ßib2 + yi^'s^ 



{i = 1, 2, 3) 



ist. Die Gleichungen (4) oder (4') haben wieder die Gestalt der 

 Gleichungen einer projectiven Transformation, Also : 



Satz 2 : Die Aufeinanderfolge zweier projectiver Transformationen 

 ist einer einsigen projectiven Trattsformation äquivalent. 



Sind a,-, &,-, c, die Coefficienten der ersten, a,-, ß;, yi die der zweiten 

 Transformation, so sind die Coefficienten a,-, b,-, C, der ihrer Aufeinander- 

 folge äquivalenten projectiven Transformation die bilinearen Func- 

 tionen (5) der «;, 6,-, d und a,-, ßi, yi. 



Wegen der in Satz 2 ausgesprochenen Eigenschaft der Schar 

 aller c»^ projectiven Transformationen, nach der die Aufeinanderfolge 

 zweier Transformationen der Schar stets einer einzigen Transformation 

 eben dieser Schar äquivalent ist, heisst diese Schar nach jetzigem 

 mathematischen Sprachgebrauch eine Gruppe, und zwar, da unendlich 

 kleine Änderungen der Coefficienten a,, &,, Ci in (1) nur unendlich 

 kleine Änderungen der Transformation selbst bewirken und man durch 

 continuierliche Änderung der Coefficienten von einer dieser Transfor- 

 mationen zu jeder derselben gelangen kann, eine continuierliche Gruppe.'^^^'"'^''^^^- 



Theorem 1 : Alle oo^ projectiven Transformationen der Ebene^l"^'"'^}''^'^ 



^ ^ ' Transfor- 



hilden eine continuierliche Gruppe. Die Transformationen »Nationen. 

 dieser Gruppe ordnen sich paariveis als invers zusammen. 



Letzteres haben wir schon in § 3 des vorigen Kapitels bewiesen. 



