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Kapitel 2, § 1. 



^Beze/cim^° Bezeichneii wir mit S irgend eine Transformation der Gruppe, so 



der Transf. ^gyjgjj wir mit S~^ die ZU ihr inverse bezeichnen, die hiernach auch 

 der Gruppe angehört. Mit ST werden wir künftig — wie es in der 

 Substitutionstheorie zu geschehen pflegt — die Aufeinanderfolge der 

 beiden Transformationen S und T bezeichnen. Insbesondere werden 

 wir, wenn S und T dieselbe Transformation bedeuten, statt SS das 

 Symbol S^ gebrauchen. So soll also S"-, wenn n eine ganze positive 

 Zahl ist, die l^-malige Aufeinanderfolge von S sein. Ebenso stellt 

 S~" die w- malige Aufeinanderfolge der zu 8 inversen Transfor- 

 mation S~^ dar. Hiernach hat, wenn S, T, U • • Transformationen 

 bedeuten, jeder Ausdruck von der Form S"^T" If • • •, in dem m, n, r • • 

 ganze positive oder negative Zahlen bedeuten, einen ganz bestimmten 

 begrifflichen Sinn. Insbesondere wird es hiernach zweckmässig sein, 

 unter S^, T^, U^ • • die identische Transformation x^ = x^ ^i = 2/ zu ver- 

 stehen, die wir auch bloss mit 1 bezeichnen, sodass SS~^ = S^ = 1 ist. 

 Wir bemerken im Anschluss an die Formeln (5) noch Folgendes : 

 Die Determinante 



Ol &i Ci 



der Transformation (4) oder (4'), die der Aufeinanderfolge von (1) und 

 (3) äquivalent ist, hat nach (5) den Wert 



Also gilt 

 Deter- g^tz 3 : Hüben mvei projective Transformationen die Determi- 



minanten m ^ 



zweier Tanten z/, und zl.. , so ist A. A^ die Determinante der projectiven Trans- 

 mationeu. formtttion, die ihrer Aufeinanderfolge äquivalent ist. 



proj Transf., Daraus, dass die proiectiven Transformationen eine Gruppe bilden, 



iie ein Drei- ' x a ^ , . 



eck in ein können wir den Schluss ziehen, dass es stets projective Transformationen 

 überfuhrt. gieU , ivclche dic Seiten eines beliebig vorgelegten Dreiecks in die Seiten 

 eines anderen beliebig gegebenen Dreiecks überführen. 

 Sind nämlich 



?i=Oia;-f biP -\- Cy =0, 



l^^a^x -\-\y -\- c.^ = 0, 

 Is = a^x + &3^ + C3 = 



die Gleichungen der drei ersten gegebenen Geraden und 



