Die allgemeine projective Gruppe. 17 



L, = A,X -^ B,Y -\- C, = 0, 

 L, = Ä,X + B,Y-\-C, = 



die Gleichungen der drei letzteren gegebenen Geraden, indem wir die 

 laufenden Coordinaten der letzteren zur Unterscheidung mit X, Y be- 

 zeichnen, so bestimmen zunächst 



(6) x, = Js y^ = i 



uach § 3 des 1. Kapitels eine projective Transformation S <ler Punkte 

 (x, y) in die Punkte (x^, y^), welche die drei ersten gegebenen Geraden 

 in die Coordinatenaxen Xj^ = 0, «/i = und die unendlich ferne Gerade 

 überführt. Ebenso liefern die Gleichungen 



0) ^^==1' ^^ = S 



eine projective Transformation T der Punkte (X, Y) in die Punkte 

 {Xi, yi), welche die drei Geraden i^ = 0, L^ = 0, L. = in die Axen 

 und die unendlich ferne Gerade verwandelt. Auflösung von (7) nach 

 X, Z giebt, wie wir aus § 3 des 1. Kapitels wissen, die zur Trans- 

 formation T inverse Transformation T-^ der Punkte (x^, y^ in die 

 Punkte (X, Y), die ebenfalls projectiv ist. Dieselbe führt die Coordi- 

 natenaxen a?! = 0, yi = und die unendlich ferne Gerade in die drei 

 Geraden L^ =0, L^ = (^, -^3 = über. Die Aufeinanderfolge ST-^ 

 der beiden projectiven Transformationen S und T~^ ist, da alle pro- 

 jectiven Transformationen eine Gruppe bilden, einer einzigen projec- 

 tiven Transformation äquivalent, welche direct die Punkte {x, y) in 

 die Punkte (X, Y) überführt. Dieselbe wird analytisch durch Elimi- 

 nation von x^, yi aus (6) und (],) erhalten, also zunächst in der Form: 



Natürlich hat man diese Gleichungen noch, um die gewöhnliche Form 

 der projectiven Transformation zu erhalten, nach den neuen Variabein 

 X, Y aufzulösen. Dass diese Transformation ST-^ die drei ersten 

 gegebenen Geraden in die drei letzten gegebenen Geraden über- 

 führt, ist nach Obigem klar: die Gerade ?i = wird durch S in 

 die Gerade x^ = und diese durch T"^ in die Gerade X^ = ver- 

 wandelt u. s. w. Auch erkennt man es direct aus (8). Denn ist l^ == 0, 

 d. h. liegt der ursprüngliche Punkt (x, y) auf der einen gegebenen 

 Geraden, so giebt (8) auch L^ = 0, d. h. der transformierte Punkt (X, Y) 

 liegt auf der Geraden L^ = 0, u. s. w. 



Liu, Continuierliche Gruppeu. 2 



