18 Kapitel 2, § 1. 



Natürlich werde stillscliweigend vorausgesetzt, dass die Geraden 

 l^ = 0, 1^ = 0, 1^ = ebenso wie die Geraden L^ = 0, L^ = (), ig = 

 ein wirkliches Dreiseit im Sinne der projectiven Geometrie bilden, d. h. 

 dass jene drei Geraden nicht sämtlich einen Punkt gemein haben. 

 Sonst nämlich wären S und T ausgeartete Transformationen. 



Ein Beispiel erläutere obigen Gedankengang: Die drei Geraden 



Zi = a; = 0, l^^^y = 0, l^^x -\- y -\- 1 = Q 



bilden ein wirkliches Dreiseit, ebenso wie diese drei 



Zi = X— 1 = 0, L^^Y-\-\ = 0, igEEEX^O. 



Wir verlangen eine projective Transformation der Punkte {x, y) in die 

 Punkte (X, Y), welche die drei ersten Geraden in die drei letzten 

 überführt. Wir setzen nach (8) an: 



X __ X— 1 y ^ r + i 



x+ij-\-l~ X ' a;4-7/ + l"~ X 



und erhalten durch Auflösung nach X, Y die gewünschte projective 



Transformation : 



■y _ a; + y 4- 1 y^^ -- 1 



2/ + 1 ' y + i' 



Es ist nun nicht schwer, auch die allgemeinste projective Transfor- 

 mation aufzustellen, tvelcJie die drei Geraden 1^=0, I2 == 0, 1^=0 in 

 die drei Geraden L^ = 0, ig = 0, ig = verwandelt. Eine solche 

 Transformation drückt nämlich X, Y als linear gebrochene Functionen 

 von X, y mit gemeinsamem Nenner 



n = Const. X -{- Const. y -}- Const. 



aus. Nun soll L^ = eine Folge von ^^ = vermöge der Transfor- 

 mation werden. Setzen wir also in L^ die Werte von X, Y ein, so 

 muss sich offenbar eine linear gebrochene Function von x, y ergeben, 

 deren Nenner n ist und deren Zähler von l^ nur um einen Zahlen- 

 factor abweichen kann. Vermöge der Transformation ist demnach: 



^ n ' 



WO Q^ eine Constante bedeutet. Ebenso ist 



7- Qi '2 



n ' 



2 n 



Vermöge der Transformation ist also : 



Li Pj Zj _-^ __ £2 h , 



L3 Ps ^3 ' -^3 Q3 k 



