Die allgemeine projective Gruppe. 19 



Demnach stellen die nach x, y wie nach X, Y auflösbaren Gleichungen 



(«) ^ = "1' 1 = ^1' 



in denen a, ß Constanten bedeuten, die allgemeinste projective Trans- 

 formation der gesuchten Art dar. 



Satz 4 : Die allgemeinste projective Transformation, welche die drei 

 ein wirkliches Dreieck bildenden Geraden: 



li ^ aix -\- hiy -{- Ci = 



((• = 1, 2, 3) 



bezüglich in die drei ebenfalls ein wirkliches^ Dreieck bildenden Geraden 



(i = 1, 2, 3) 



Überführt, ergiebt sich durch Auflösen der Gleichungen 



— = a ^ "^*= /3 ^ 



nach X, Y. Hierbei bedeuten a, ß irgend tcelche von Null verschiedene 

 Constanten. Es giebt also od^ derartige Transformationen. 



In unserem obigen Beispiel sind also Beispiele. 



x-i oc ^+1==^ y 



X -x-i-y-^l' X t^x + y-^l 



oder 



(1 - «)a; + 2/ + 1' ^ (l_«)a;-f2/+l " 



die Gleichungen der allgemeinsten projectiven Transformation, welche 

 die Geraden x = 0,y = 0, x-{-y-\-l'^0 bez. in die Geraden X — 1=0, 

 r+ 1 = 0, Z = verwandelt. 



Zur Übung empfehlen wir dem Leser, die projectiven Transfor- 

 mationen aufzustellen, welche die Coordinatenaxen und die unendlich 

 ferne Gerade unter einander vertauschen. Es sind, diejenigen ein- 

 geschlossen, welche die Coordinatenaxen und die unendlich ferne Gerade 

 jede in sich überführen, diese sechs: 



Xi = (xx, y^^ ßy^ Xi = ay, y^= ßx; 



Wir heben, um ein neues Resultat abzuleiten, hervor, dass sich 

 jede Gerade 



ax -j- hy -\- c = 



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