20 Kapitel 2, § 1. 



mit Hülfe der drei von einander unabhängigen linearen Ausdrücke 



h ^ aiX + hy + Ci 



{i == 1, 2, 3) 



in der Form schreiben lässt: 



(10) aj, + 02^2 + 03^3 = 0, 



wo Ol, Qa, Og Constanten bedeuten. Denn zum identischen Bestehen 

 der Gleichung 



ist ja notwendig und hinreichend, dass 



a = Ol«! + 0202 + «3% > 



& == a,&, + a2&2 +03^3. 

 c =aiC, + a2C2 + agCg 



sei, und diese Gleichungen liefern, da die Determinante 2^ + ^1^2^3=1=0 

 ist, gerade ein bestimmtes endliches Wertsystem a^, a^, CI3. Umgekehrt 

 stellt auch jede Gleichung von der Form (10), wie auch a^, Og, a^ ge- 

 wählt sein mögen, eine Gerade dar. 



Diese Gerade (10) wird durch die allgemeinste projective Trans- 

 formation (9), die l^ = 0, I2 == 0, l^ == in L^ = 0, L.^ = 0, L^ = ver- 

 wandelt, übergeführt in die Gerade 



QiaLi + a^ßL^ + 03X3 = 0. 



Aber jede Gerade der XY-Ebene lässt sich, da L^, L^, L^ eine von 

 Null verschiedene Determinante haben, in der Form schreiben : 



(11) %L, + %,L,-{-%L, = 0, 



in der Stj, Stg» ^3 Constanten sein sollen. Wenn die Transformation (9) 

 nun die allgemein gewählte Gerade (10) in die allgemein gewählte 

 Gerade (11) überführen soll, so haben wir folglich die noch zur Ver- 

 fügung stehenden Coefficienten a und ß in (9) so zu wählen, dass 



wird, was immer und zwar auf nur eine einzige Weise möglich ist, 

 sobald die Geraden (10) und (11) allgemeine Lage gegen die Drei- 

 ecke li == 0, I2 = 0, Z3 = resp. L^ =0, L^ = 0, L^ = einnehmen, 

 d, h. sobald keine dieser Gerader^ durch eine Ecke der betreffenden 

 Dreiecke geht, denn dann würden von den Coefficienten a und 5t 

 einige verschwinden. 



Wir haben also erkannt: 



