Die allgemeine projective Gruppe, 21 



Satz 5 : Es giebt stets eine und nur eine projective Transformation, ^r^°lllfj,l 

 die vier beliebige Geraden allgemeiner Lage, d. h. vier Geraden, i'ow^,^f^;^^if^ 

 denen Iceine drei durch einen gemeinsamen Funkt gehen, in vier beliebige ^J^^^^^^^^^^ 

 andere Geraden allgemeiner gegenseitiger Lage überführt. Insbesondere ^'^''■ 

 ist die identische Transformation x^ = x, y^ = y die einzige projective 

 Transformation, die vier Geraden allgemeiner gegenseitiger Lage in 



Ruhe lässt. 



lu unserem Beispiel können wir noch fordern, dass etwa die Gerade Beispiel. 



x + y-l=:0, 



d. h. die Gerade 



21, + 2l,-k = 0, 



in die Gerade 



oder 



L,-{-L,-L, = 



übergehe. Dies giebt die Bedingung 



2a 2ß —J. 



1 T "~ — 1 

 oder 



und die betreffende Transformation lautet: 



"^ ~ - .r + "2/ + 1 ' -x + y-i-l 



Fraofen wir andererseits nach allen projectiven Transformationen, 

 die vier Punläe allgemeiner gegenseitiger Lage, d. h. vier Punkte, 

 von denen nicht drei auf einer gemeinsamen Geraden liegen, in vier 

 andere Punkte allgemeiner gegenseitiger Lage überführen. 



Zunächst ist klar, dass eine solche Transformation die drei Ge- 

 raden, die drei der ursprünglichen vier Punkte verbinden, bezüglich in 

 die drei Geraden überführt, welche die entsprechenden drei Punkte 

 verbinden. Umgekehrt ist auch klar, dass eine projective Transfor- 

 mation, die jene ersten drei Geraden in die neuen drei Geraden 

 verwandelt, jene ersten drei Punkte in die neuen drei Punkte über- 

 führt. Hiernach handelt es sich also darum, alle projectiven Trans- 

 formationen aufzustellen, die drei gegebene ein wirkliches Dreieck 

 bildende Geraden l^ = 0, 1^ = 0, \ = in drei andere gegebene eben- 

 falls ein wirkliches Dreieck bildende Geraden L, = 0, L^== 0, Z3 = 

 und ausserdem einen gegebenen Punkt {x, y), der nicht auf einer der 

 Geraden ?< = liegt, in einen gegebenen Punkt (X, Y), der nicht 



