22 Kapitel 2, §§ 1, 2 



auf einer der Geraden Li = liegt, verwandelt. Die erstere Bedingung 

 führt auf die c»^ Transformationen (9) oder : 



A,X + B,Y -\-C, a,x + h,y + c, ' 



Ä^X + BsY-\- C^a ^^ a «2^ 4- &j2/ + Cj 



^3 X + ^3 r + C3 ^ a^x + b^y + c^ 



Diese Gleichungen sollen nun bestehen, wenn x, y, X, Y gleich x, y, 

 X, Y gesetzt werden. Dadurch werden, weil kein Zähler oder Nenner 

 bei den gemachten Voraussetzungen für diese Werte verschwindet, a und 

 ß in unzweideutiger Weise bestimmt. 

 So hat sich ergeben : 

 T'r*^in8for- ^^^^ ^ • ^^ 9^^^^ ^^^^ ^^**ß *<^^ ^^^*' ^^^^ pTojecUve Transformation, 



^er^Tünktl^^^ vißr beliebige ein wirJcliches Viereck bildende PunMe in vier beliebige 

 inderJübei-^'^^^^ ^*^^* 'f^virliliches VicrecJc bildende PunMe überführt. Insbesondere ist 

 ^"^'*- die identische Transformation x^= x, yi = y die einzige projective Trans- 

 formation, die vier ein tvirkliches Viereck bildende Punkte in Ruhe lässt. 

 Als Zusatz können wir noch infolge der letzten Betrachtung dies 

 aussprechen : 



Tr"insfor- ^^^^ ^ • -^^ P^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^ ^^^ ^**^^ pTOJcctive Transformation, 



dn*Dreieck^*^ (?»'ei cin tvirkUchcs Breieck bildende Geraden in sich überführt und 

 "puuktTu überdies einen gegebenen Punkt allgemeiner Lage in einen anderen ge- 

 cbensoichc gßjjß^ß^ Punkt allgemeiner Lage verwandelt. 



überführt. 



§ 2. Die infinitesimalen projectiven Transformationen. 



Wir bemerkten schon, dass die Gruppe aller projectiven Trans- 

 formationen der Ebene zu jeder Transformation 



^ ^ ^ «jo; -j- b^y -f C3 ' ^1 a^x -{- b^y + Cg 



auch die inverse enthält. Führen wir beide nach einander aus, so 

 ergiebt sich die identische, die Alles in Ruhe lässt. Da die Aufeinander- 

 folge jener beiden Transformationen infolge der Gruppeneigenschaft 

 wieder eine Transformation aus der Schar aller projectiven Transfor- 

 mationen (1) ist, so folgt, dass es solche Werte der Constanten 

 ^1» \) ^1 u. s. w. geben muss, für die sich die Gleichungen (1) auf 

 x^ = X, yi = y reducieren. In der That, setzen wir in (1) statt x^, y^ 

 die Veränderlichen x, y, und verlangen wir das identische Bestehen dieser 

 Gleichungen, so ergiebt sich, da es auf einen Proportionalitätsfactor nicht 

 ankommt, also das nicht -verschwindende ai= 1 gesetzt werden darf: 



