Die infinitesimalen projectiven Transformationen. 23 



ai = l, &i = 0, Ci = 0] 

 «2 = 0, ^2 = 1^ Co = 0; 



JE's giebt also ein und nur ein Wertsystem der Constanten, für das sich 

 die projective Transformation (1) auf die Identität reduciert. 



Hieraus folgt, dass wir, um alle unendlich Meinen projectiven^^^^'^jj^p^*^]^; 

 Transformationen zu erhalten, d. h. alle, welche die Lage eines jeden *^;«^^Jf^^^«- 

 Punktes nur unendlich wenig ändern, den Constanten solche Werte 

 zu geben haben, die von den soeben bestimmten nur unendlich wenig 

 abweichen. Wir setzen also, unter dt eine infinitesimale Grösse ver- 

 standen : 



a^ = l-^a,dt, h,=ß,dt, c, = y,dt, 



a., = cqdt, &2 = 1 + ß2^i} ^2 = r2<^^7 



a.^ = a^dt, ba = ß..dt, c^=l-{- y.^dt, 



wo «1, «2 • • beliebige Constanten bedeuten, und erhalten aus (1) als 

 allgemeinen Ausdruck einer infinitesimalen projectiven Transformation : 



Nun ist 



1 



l-{a,x-{-ß,y + y,)dt + {a,x-^ß,g + y,fdt' 



und sonach kommt: 



x^=x-{a^x + ß,y-\-y^)ccdt-\-ia,x-{-ß,y + y,yxdf 



+icc,x + ß,y+y,)dt -(a,x + ß,y-\-y,)ia,x-\-ß,y-\-y,)dt'-\----, 



Vi=v-{<^s^ + ß3y+yi)y^i+i<'3x-\-ß3y+yzyv^i' 



^(a,x-^ß,y + y,)dt -(a,x+ ß,y + y,){a,x-{-ß,y-{-y,)dt'-i--- . 



Es sind die rechten Seiten, wie es sein muss, nur infinitesimal ver- 

 schieden von X und y. Die unendlich kleinen Glieder sind Potenz- 

 reihen nach dt Man erkennt sofort, dass die Glieder erster Ordnung 

 in d^ nur dann sämtlich verschwinden, wenn alle a, ß, y = gewählt 

 werden. Dann aber verschwinden auch die unendlich kleinen Glieder 

 höherer Ordnung, und die vorstehenden Gleichungen stellen nur die 

 identische Transformation dar. Hieraus folgt, dass bei jeder infini- 

 tesimalen projectiven Transformation wenigstens eine der beiden Ent- 

 wickelungen von x und y nach dt sicher ein nicht verschwindendes 

 unendlich kleines Glied erster Ordnung enthält. Diesem gegenüber 

 sind alsdann die Glieder höherer Ordnung zu vernachlässigen und es 

 kommt: 



