24 • Kapitel 2, § 2, 



(12) |^i==^ + (?'i + (^"1 — ?'3)^ + /5i2/ — «3*' — ^3^2/)^!^; 



\yi = y + (72 + «2^' + (/32 — n)y — oc^xy — /33^2)^^ 



als allgemeiner Ausdruck einer infinitesimalen projectiven Transfor- 

 mation. Hierin können die a, ß, y irgend welche Constanten bedeuten, 

 während dt eine infinitesimale Grösse sein soll. Wenn wir die Con- 

 stanten nun anders bezeichnen, etwa setzen : 



Vi = f^, 72 = ^, «1 — 73 = c, /?! = d, 



«2 = e, ß2~Yä=g, — «3 = ^^ — ^3 = ^, 

 so nehmen die Gleichungen die etwas übersichtlichere Form an: 

 (12') {iKi=x-{-(a-\-cx-{-dy + hx^ + lixy)8t, 



\yi=y + Q>+ex-\-gy-\- hxy -\- ]cy')öt. 



Bei einer infinitesimalen projectiven Transformation erfahren sonach 

 die Coordinaten x und y unendlich kleine Incremente dx und dy, die, 

 ivenn man nur die niedrigsten zvirUich vorkommenden unendlich Meinen 

 Grössen herüclcsichtigt, die allgemeine Form haben: 



(12") i^x = oc^ — X = (a -^ ex -{- dy -{- hx^ + Jcxy)dt, 



Uy = yi — y = (b + ex-\-gy -\- hxy + ky^)dt. 



Wären die unendlich kleinen Glieder niedrigster Ordnung gleich Null, 

 so würden, wie oben bemerkt wurde, alle unendlich kleinen Glieder 

 höherer Ordnung ebenfalls verschwinden, und die Transformation wäre 

 bloss die Identität. Vernachlässigt man die unendlich kleinen Glieder 

 höherer Ordnung nicht, so stellen sich dx und dy als unendliche 

 Reihen dar, die nach ganzen Potenzen von 8 t fortschreiten. 



Eine beliebige Function f der Veränderlichen x, y erhält bei dieser \ 

 infinitesimalen projectiven Transformation (12') oder (12") auch einen \ 

 unendlich kleinen Zuwachs df, nämlich, da \ 



^f = f{^x, yx) — f{x, y) = fix + dx,y-\- öy) - f{x, y) = \ 



-f(^^>y) + %^^ + %^y-f{^,y) = li^x + ILöy \ 



ist, diesen: I 



I 



df= [{a + cx + dy + hx^-^lxy)U^-^Q)+ex+gy+hxy-{-lf)^]dt. \ 



Der Ausdruck | 



(13) Uf={a + cx + dy + hx'-Jr'kxy)l^+{h-\-ex+gy+hxy-\-hy'')^, \ 



der mit dt multipliciert dieses Increment darstellt, definiert nun unsere i 

 infinitesimale projective Transformation vollständig. Nehmen wir 



