Symbol 



Die infinitesimalen projectiven Transformationen. 25 



nämlich hierin die beliebig zu wählende Function f gleich x an, so 



wird f^ = 1 und 1^ = 0, und es bleibt: 



ex cy 



Ux^a -\- ex -\- dy -\- lix^ -\- Tixy, 



ein Ausdruck, der, mit dt multipliciert, den Zuwachs 8x von x dar- 

 stellt. Analog ist der mit 8t multiplicierte Ausdruck 

 TJy ^l -\- ex -\- gy -\- lixy + If 



der Zuwachs der Veränderlichen y. 



Wir werden daher künftig die infinitesimale projective Transfor- 

 mation nicht durch die Gleichungen (12') oder (12"), sondern durch 

 den Ausdruck (13) definieren. Wir nennen diesen Ausdruck TJf das 

 Symhol der allgemeinen infinitesimalen projectiven Transformation (12')eiirer'^nfinit. 



oder (12"). "°''^^'^^' 



Die Constanten a, i ... h, Ic in diesem Symbole sind willkürlich. Beispiele. 

 Setzen wir z. B. a== 1 und alle anderen gleich Null, so kommt die 

 besondere infinitesimale projective Transformation 



d. h. diejenige, bei der die Incremente der Veränderlichen diese sind 



dx = Ux ■ St = dt, dy=Uy-dt = 0. 

 Hier erfährt also x einen für alle Punkte (x, y) der Ebene gleichen 

 Zuwachs dt, während y ungeändert bleibt; jeder Punkt (ic, y) wird 

 um dieselbe Strecke 8t parallel der x-Axe verschoben. Es ist dies 

 eine sogenannte infinitesimale Verschiebung oder Translation. Setzen 

 wir andererseits alle Constanten gleich Null mit Ausnahme von c und 

 g, die wir gleich 1 annehmen, so reduciert sich Uf auf: 



Uf=xt^ + yi^- 

 ' ex ' '^ cy 



Hier wachsen die Coordinaten um 



8x= Ux- 8t = x8t, 8y= Uy'8t = y8t, 

 d. h. jeder Punkt (x, y) wird auf seinem Radiusvector um eine un- 

 endlich kleine diesem Radiusvector proportionale Strecke 



"• ■ ' y8x^~^'8y = 8t y^+^f 



fortbewegt. Es ist dies eine sogenannte infinitesimale ÄhnlicMeits- 

 transformation vom Anfangspunkte aus. Setzt man ferner d = \, 

 e = — 1 und die übrigen Constanten in TJf gleich Null, so resultiert: 



' ^ dx cy 



wobei 



8x=Ux-8t = y8t, 8y^Uy-8t = — x8t 



