Die infinitesimalen projectiven Transformationen. 21 



nisse der acht Coefficienten a, b . . . h, Tc ankommt, d. h. dass es 'ini^J^^''^ll: 

 ganzen nur oo^ infinitesimale projective Transformationen giebt. ^formatroT 



Wir wollen nunmehr annehmen, Avir hätten die Coefficienten in 

 Uf in irgend einer Weise bestimmt gewählt. Alsdann ordnet Uf 

 den Punkten der Ebene ganz bestimmte Fortschreitungsstrecken in 

 bestimmten Richtungen zu, indem x und ij die Incremente erfahren 



dx = {a -\- ex + dij + hx^ + hxy)8t, 

 8y = {!) + ex-[-gy -\-lixy-^hy'-)öt. 



Es liegt kein Hindernis vor, uns vorzustellen, dass diese unendlich 

 kleine Lagenänderung in dem Zeitelement 8 t geschieht, indem wir der 

 infinitesimalen Grösse 8t eine anschauliche Bedeutung beilegen. Wenn 

 wir die infinitesimale Transformation Uf ein zweites Mal im nächsten 

 Zeitteilchen 8t auf die gefundenen neuen Punkte, darauf ein drittes 

 Mal auf die so erhaltenen Punkte u. s. w. ausüben, so gelangen die 

 Punkte {x, y) schliesslich, etwa in der Zeit t, in neue Lagen {x^, y^), 

 die von den ursprünglichen im allgemeinen endliche Entfernungen 

 haben werden. Dann sind x^, y^ gewisse Functionen von t und den 

 ursprünglichen Coordinaten x, y derart, dass sie sich für ^ = auf 

 X, y selbst reducieren, und dass sie zweitens, wenn t um dt zunimmt, 

 um die Werte 



dx-^ = (a -\- cXi + f^2/i + ^'^1^ + Tix-^yi)dt, 



dyi = (ö + ex^ + gy, + hx^y^ + Jcy^'')dt 



wachsen. Sie sind demnach die Functionen von t, die dem simultanen 

 System genügen : 



r^A\ '13: = ^ = dt 



dabei vorausgesetzt, dass sie sich für ^ = auf x, y selbst reducieren. 

 Die durch Integration dieses simultanen Systems (14) erhaltenen 

 neuen Lagen (x^, y^) der Punkte (x, y) sind also diejenigen, die 

 sie nach unendlich oftmaliger Wiederholung der infinitesimalen Trans- 

 formation Uf annehmen. Die Integralgleichungen : 



(15) Xi = fp {x, y, t), y^ = ipix, y, t), 



die für ^ = einfach Xi= x, y^ = y ergeben, stellen demnach eine 

 endliche Transformation der Punkte (x, y) in die Punkte {x^, y^ dar. 

 Da sie eine willkürliche Grösse t enthalten, so haben sich factisch oo^ 

 Transformationen (15) ergeben, unter denen insbesondere die identische 

 x^ = X, Vi = y enthalten ist. Wegen der Entstehungsart der Glei- 



