28 Kapitel 2, § 2. 



chungen (15) haben sie, nach Potenzen von t entwickelt, offenbar die 

 Form : 



wenn unter | und ri die Grössen: 



% "^ a -{- ex -{- dy -\- hx^ -f- Icxy, 

 r]=h -\- ex -^ gy -i- hxy-\- hy^ 



verstanden werden. Die Schar der oo^ Transformationen (15) enthält 

 somit auch (für t = dt) die infinitesimale projective Transformation, 

 von der wir ausgiugeu. Dies ist übrigens begrifflich klar. Bezeichnen 

 wir nun mit T die infinitesimale Transformation TJf, so giebt ihre 

 w- malige Wiederholung die Transformation T'', ihre w- malige T"". 

 Dann ist die Aufeinanderfolge beider äquivalent der (n + >w)- maligen 

 Wiederholung von T : 



Indem wir diese Überlegung auch auf unendlich oftmalige Wieder- 

 holung von T ausdehnen, durch die sich die oo^ Transformationen (15) 

 ergeben, wird es einleuchtend, dass die Aufeinanderfolge zweier 

 Transformationen Ta, Tj der Schar (15) einer einzigen Transfor- 

 mation Tc eben dieser Schar äquivalent ist: TaT^ = Tc, dass also 

 diese Schar die Gruppeneigenschaft besitzt. Natürlich ist dies kein 

 strenger Nachweis der Gruppeneigenschaft. Wir verzichten hier jedoch 

 auf eine bindende Beweisführung*). 



Es mag also das Bemerkte genügen, um darzuthun, dass die 

 endlichen Transformationen, die durch fortwährende Wiederholung 

 der infinitesimalen projectiven Transformation TJf hervorgehen, eine 

 sogenannte Gruppe bilden und zwar, da es oo^ Transformationen sind, 

 GrupS^^er-^^^® em^Zie(?r*^e Gruppe, erzeugt von Uf. Auch gehen wir nicht darauf 

 jei.gtvonty.ein^ zu beweisen, dass diese Gruppe m jeder ihrer Transformationen auch 

 die inverse enthält. Dagegen sollen einige Beispiele das Gesagte er- 

 läutern. 



Beispiele. Liegt z. B. die infinitesimale projective Transformation 



Uf = p 

 vor, also die infinitesimale Translation 



dx = dt, dy = 0, 



*) Eine strenge Begründung findet man in Kap. 2 des Werkes: Sophus Lie, 

 Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transfor- 

 mationen, bearbeitet und herausgegeben von G. S cheffers, Leipzig, Teubner 1891, 

 Im Folgenden citieren wir dies Werk kurz als: „Diffgln. m. inf. Trf.^' 



