Die infinitesimalen ptojectiven Transformationen. 29 



so führt ihre unendlich oftmalige Wiederholung offenbar die Punkte {x, y) 

 in die neuen Punkte 



x^^x + a, yi = y 



über. Dabei ist die Verschiebungsstrecke a längs der a;-Axe eine von 



X, y unabhängige Grösse. Hier lautet das simultane System (14): 



dxi _ dy, _ , 

 1 ~ ~ö" "~ ^^ 



und giebt integriert mit den Anfangswerten x, y von x-^, ^/i für ^ = 

 diese Gleichungen : 



also, bis auf andere Bezeichnung der Grösse a, die obigen. Offenbar 

 stellen diese Gleichungen eine Gruppe von Transformationen dar, denn 

 aus der Aufeinanderfolge von 



x^ = x-\-t, yi = y 

 und 



X2 = x^ + ti, ?/., = y^ 

 folgt 



X., ^ X -\r (t -\- t,), y., = y, 



also die Translation um die Strecke {t + ^i) längs der a;-Axe. 

 Die infinitesimale Ähnlichkeitstransformation 



TJfEEExp + yq 

 oder 



dx = xdt, öy = y8t 



giebt offenbar, unendlich oft ausgeführt, die endliche ähnliche Ver- 

 grösserung oder Verkleinerung vom Anfangspunkt aus: 



x^ = mx, y^ =•= my. 

 Integriert man hier das simultane System (14): 



mit den Anfangswerten x, y von x^, y^ für ^^0, so erhält man 



^1 = ^e', y^ = ye', 

 also in der That Gleichungen, die mit den obigen übereinstimmen, 

 wenn nur die Grösse e' durch m ersetzt wird. Sie stellen eine Gruppe 

 dar, denn aus : 



Xi = xe\ yy = ye\ 



x^ == x^tf^, y^ = y^ef^ 

 folgt durch Elimination der Zwischenwerte x^^ y^\ 



und dies sind Gleichungen von eben jener Form. 



