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Kapitel 2, §§ 2, 3. 



Jede infinitesimale projective Transformation Uf erzeugt also 

 eine gewisse Gruppe von oo^ endlichen Transformationen. Es liegt 

 nun nahe, zu vermuten, dass diese endliehen Transformationen auch 

 projectiv sein werden. Dies zu beweisen, würde unsere nächste Auf- 

 gabe sein. Wir finden es jedoch angebracht, vorerst einige Vor- 

 betrachtungen anzustellen, die auch sonst ihr besonderes Interesse 

 haben, um dann im übernächsten Paragraphen die angeregte Frage 

 zu beantworten. 



§ 3, Andere Definitionen der projectiven Transformationen. 



In diesem Paragraphen wollen wir zeigen, dass sich die projec- 

 tiven Transformationen auch definieren lassen als die allgemeinsten 

 Punkttransformationen, welche die Punkte einer Geraden stets wieder 

 in die einer Geraden überführen. Hierfür geben wir nachher zwei 

 Beweise: Der erste, umständlichere beruht auf synthetischen Über- 

 legungen und führt daher am besten in die Sache ein. Der zweite, 

 kürzere ist rein analytisch. Es bleibt dem Leser überlassen, welchen 

 dieser Beweise er vorziehen will. 

 Zunächst eine Vorbemerkung: 

 Vor- Wenn durch einen Punkt (Fig. 5) vier Strahlen 5,, s., s«, s, 



gehen, die mit irgend einem bestimmten Strahl So durch Winkel 

 bilden, deren Tangenten X^, Ag, A3, A4 sind, so ist 

 es leicht, das Doppelverhältnis des Vierstrahls an- 

 zugeben. Denken wir uns nämlich eine Gerade g 

 senkrecht zu So im Abstände 1 von gezogen, 

 so schneidet sie s^, s^, Sg, s^ in vier Punkten 

 Pi>P2,P3,P4.} und nach Satz 1 des § 1, 1. Kap., ist 



(Si, 62, S3, sj = (Pi,P2,P3,p^). 

 Der Punkt pi hat ofi^enbar die, vom Schnittpunkt 

 der Geraden g mit So an gerechnete Abscisse A,- auf g, und also ist 

 nach Satz 4 des § 1, 1. Kap.: 



{8^828^8 J = - — : ~ --. 



''^ *2 "'S — '''4 



Das DoppelverMltnis von vier Strahlen durch einen PunJct ist also gleich 

 dem Doppelverhältnis der Tangenten ihrer Neigungswinkel m irgend einer 

 bestimmten Richtung. 



Fig. 5. 



Transfor- 

 mation der 



Nach dieser Vorbemerkung wollen wir nunmehr annehmen, es 



bifbeiifr^^^g®^ die Gleichungen 



"(16) ^1 = <P(^, y), Vi = ip{oc, y) 



Punkttrans 

 formation 



