Vorwort. V 



derer Sätze erscheinen. Im zweiten Abschnitt ist die Bezeichnung: 

 Theorem nur für solche Ergebnisse benutzt, die unseres Erachtens 

 wirklich eine für die Gruppentheorie grundlegende Bedeutung haben. 



Im zweiten Hauptabschnitt denken wir uns den Leser vertraut 

 mit der elementaren Theorie der Differentialgleichungen, wie sie in 

 Vorlesungen behandelt zu werden pflegt, und geübt in der Anstellung 

 rechnerischer Betrachtungen in n Veränderlichen. Auch dieser Ab- 

 schnitt zerfällt in drei Abteilungen, die als vierte, fünfte und sechste 

 nummeriert sind. 



i)ie vierte Äbteihing bildet ein in sich abgeschlossenes Ganzes und 

 ist äusserst wichtig. Sie e^ithält nämlich die grundlegenden Sätze der 

 Gruppentheorie. Sie ist so abgefasst, dass sie — wie wir hoffen — 

 auch ohne die Leetüre des Vorhergehenden verständlich bleibt. Die 

 Beweise der drei Fundamentalsätze der Gruppentheorie im 15. Kap. 

 sind in einer rein analytischen Fassung gegeben, die an Kürze nichts 

 zu wünschen übrig lässt. Ihr folgt die begriffliche Wiedergabe der 

 Beweise, die streng genommen nicht nötig, aber doch nützlich ist, da 

 sie in das innere Wesen der Sätze einführt. Ein besonderes Gewicht 

 legen wir ferner auf das 16. Kap. über die bei einer Gruppe invarianten 

 Gebilde. 



Die fünfte Abteilung giebt wie die sechste eine Reihe von ein- 

 zelnen Kapiteln der Gruppentheorie und ihrer Anwendungen. Wir 

 geben nachher Hinweise, in welcher Art ein Leser, der nicht alles dies 

 studieren will, zunächst eine Auswahl daraus treffen kann, ohne wesent- 

 liche Störungen der Verständlichkeit befürchten zu müssen. Die 

 fünfte Abtheilung ist den Hnearen homogenen Gruppen gewidmet, die 

 deshalb eine besondere Bedeutung haben, weil mit jeder Gruppe 

 gewisse derartige Gruppen eng verknüpft sind. Das 21. Kapitel giebt 

 als Anwendung der Gruppentheorie einen Abriss über die Theorie der 

 höheren complexen Zahlen, verbunden mit einem Berichte über die Ge- 

 schichte und den gegenwärtigen Stand dieser Theorie. 



In der sechsten Abteilung, die Anwendungen der Gruppentheorie 

 enthält, wird ein Fundamentalproblem der Mathematik zunächst in 

 Beispielen, dann allgemein behandelt, das Aquivalemproblem , die 

 Frage nämlich nach den Kriterien für die Überführbarkeit von Ge- 

 bilden in einander vermöge einer vorgelegten Gruppe, und das damit 

 eng verknüpfte Problem der Aufstellung von Invariantentheorien für 

 Gruppen. Hierbei spielt der Begriff Differentialinvariante eine hervor- 

 ragende Rolle. Zur Orientirung wird zuerst ausführlich die Con- 

 gruenztheorie der Curven und in grossen Zügen die der Flächen dar- 

 gestellt, womit eine Lücke in der heutigen Geometrie ausgefüllt wird. 



