IV Vorwort. 



der Transformationgruppen, unter Mitwirlung vonFrof. Engel hearheitet 

 von SopJms Lie", 1888—93, in drei Abschnitten. Aber dieses grosse 

 Werk ist nicht sowohl auf die erste Einführung als vielmehr auf das 

 gründliche Studium der Theorie in voller Allgemeinheit berechnet. Es 

 soll in einem wohlgegliederten System die ganze Theorie in ihrer 

 heutigen Vollen duug darbieten. Demgemäss giebt es auch die Be- 

 trachtungen von vornherein in n Veränderlichen. 



In älteren Arbeiten sowie in seinen Vorlesungen schlug Lie einen 

 anderen Weg ein, indem er die Theorie zuerst in einer, in zwei und 

 in drei Veränderlichen auseinandersetzte, ehe er zu allgemeinen Be- 

 trachtungen in n Veränderlichen überging. Dadurch fanden die Be- 

 griffe und Sätze eine anschaulich geometrische Deutung, die der Ver- 

 ständlichkeit der rein analytischen Eutwickelungen zu gute kam. 



Dieser Weg wird nun auch in den vorliegenden Vorlesungen 

 eingeschlagen, deren Studium etwa zwei Semester in Anspruch 

 nehmen wird. 



Der erste — elementare — Hauptal schnitt geht aus von der 

 Betrachtung der projectiven und dann der analytischen Transforma- 

 tionen überhaupt auf der Geraden und in der Ebene. Er zerfällt in 

 drei Abteilungen: 



In der ersten Abteilung wird eine Reihe von Einzelproblemen als 

 Beispielen für das Spätere durchgeführt. Eine grosse Anzahl von neuen 

 Begriffen tritt hier in specieller Fassung auf, die auf einer späteren 

 Stufe in allgemeinerer Bedeutung wiederkehren. Die Methoden, deren 

 wir uns hier bedienen, sind nur erst zum Teil solche der Gruppen- 

 theorie und häufig den speciellen Problemen angepasst. In der zweiten 

 Abteilung wird die Theorie der projectiven Gruppen in der Ebene 

 ziemlich ausführlich behandelt, während die dritte Abteilung die Be- 

 stimmung aller endlichen continuierlichen Gruppen der Ebene bringt. 

 Hier sind die Methoden schon vorwiegend die der allgemeinen Gruppen- 

 theorie. 



Der ganze erste Abschnitt ist so elementar gehalten, wie es der 

 Stoff zuliess. Wir heben ausdrücklich hervor, dass die Elemente der 

 projectiven Geometrie der Ebene durch die Betrachtungen dieses Ab- 

 schnittes zugleich mitgeliefert werden. Es darf wohl behauptet werden, 

 dass die Einführung in die projective Geometrie in Verbindung mit 

 der Betrachtung der projectiven Gruppen der Ebene erheblich an In- 

 teresse gewinnt. Nebenbei sei bemerkt, dass der erste Abschnitt eine 

 grosse Anzahl von Sätzen enthält, die auf dieser Stufe als besonders 

 wichtig erscheinen und deshalb als Theoreme formuliert sind. Dies 

 schliesst nicht aus, dass sie später z. T. als Specialfälle viel bedeuten- 



