Andere Definitionen der projectiven Transformationen. 31 



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irgend einer — nicht gerade notwendig projectiven — Transformation 



der Punkte (x, y) der Ebene in die Punkte {xy, y^) vor. Dabei sollen 

 (p, ip differenzierhare Functionen ihrer Argumente und die Gleichungen (16) 

 auch umgekehrt nach x^ y auflösbar sein. Der einem bestimmten, aber 

 irgendwie gewählten Punkte (a;, ?/) benachbarte Punkt {x -j- dx, y -\- dy) 

 wird durch diese Transformation in einen Punkt {xi-\-dXi, 2/i "h ^?/i) 

 übergeführt, der dem Punkte (x^, y^ benachbart ist, in welchen die 

 Stelle {x, y) vermöge (16) übergeht, und zwar kommt: 



dXi = <p'(x)dx + <p'(y)dy, dPi = '^'{x)dx -\- '^' {y)dy. 

 Diese Gleichungen lehren also, wie die in nächster Nähe der Stelle {x, y) 

 gelegenen Punkte durch (16) transformiert werden. Jedes Incrementen- 

 paar dx, dy bestimmt eine Richtung durch den Punkt (x, y) mit der 



Tangente ^-, die in eine Richtung durch den Punkt {x^, y.^) mit der 



Tangente -,— übergeht. 

 Da nun 



'""■ ^'w + ^-wlf 



ist, so werden die Tangenten der Richtungen bei der Transformation (16) 

 transformiert in der Art, wie die Punkte einer Geraden bei projectiver 

 Transformation (vgl. §2 des I.Kap.), denn fp'{x), (p\y), ilf' (x), ip' {y) 

 sind, da wir einen bestimmten Punkt {x, y) ins Auge gefasst haben, 

 gewisse bestimmte Zahlen. Nach Satz 6, § 2 des 1. Kap., ist also 



auch das Doppelverhältnis aus vier Tangenten --- gleich dem aus den 



vier entsprechenden Tangenten ~~- • 



Nach der vorangeschickten Bemerkung ist folglich auch das Doppel- Invarianz 



..■., . • -n ■ 7 / ^^^^ Doppel- 



verhaltnis aus vier Richtungen durch (x, y) gleich dem aus den vier ^«"^häu- 



j, ., Ti-T 1 / \ ' ^ / o nissea von 



transiormierten Michtungen durch (x^, y^). vier Eicu- 



Satz 8 : Bei jeder durch differenzierhare Gleichungen gegebenen 

 PunJcüransformation 



^i = 9'(^; y), yi = t{oc, y) 



der Ebene werden je vier durch einen Punkt gehende Richtungen in solche 

 Richtungen durch den transformierten Punkt übergeführt, die dasselbe 

 Dopjpelverhältnis besitzen. 



Wir wollen von jetzt ab ^on der Punkttransformation (16) ins- Möbius- 



, j V / Construc- 



besondere voraussetzen, dass sie — wie die proiectiven — alle Punkte *^°" °''"'"' 



JT j projoctiven 



emer Geraden stets wieder in die Punkte einer Geraden überführe. Transform. 



