32 ■ . Kapitel 2, § 3. 



Sie verwandele etwa die vier ein wirkliches Viereck bildenden 

 Punkte 2?', p", p'", P^^ in die vier Punkte p^, p^' , p^" , p^^"^ , die dann 

 auch ein wirkliches Viereck bilden (Fig. 6). Wir fragen, wohin ein 

 beliebiger Punkt p durch (16) transformiert wird. Zu dem Zwecke 



ziehen wir die Geraden g, g" , g'", g^^, 

 welche p^ mit p, p", p'", p^^ verbinden. 

 Nach Voraussetzung gehen sie wieder in 

 Geraden über, also insbesondere g", g"\ g^^ 

 in die drei Geraden g^', g^", g^'^, die p^ 

 mit Pi", Py", p^ verbinden. Nach unserem 

 j,. g Satze muss g in eine Gerade g^ durch p^ 



übergehen, die mit g^', g^", g^'^ dasselbe 

 Doppelverhältnis bestimmt, wie g mit g', g", g"'. Danach lässt sich 

 r/i eindeutig construieren. Der Punkt p^ muss also auf einer ganz 

 bestimmten Geraden gy gelegen sein, die von p^ ausgeht. Ebenso 

 kann man, indem man im Obigen p' mit p" vertauscht, eine bestimmte 

 Gerade durch p^' construieren, auf der p^ ebenfalls liegen muss. p^ ist 

 somit gefunden. Also : 



Satz 9 : Eine durch differenmrbare Gleichungen gegebene PunM- 

 transformation, die Geraden in Geraden überfuhrt, ist vollständig da- 

 durch bestimmt, dass man angiebt, dass irgend vier gegebene Funkte 

 P'} P"} P"'> P^^! d^^ ^^** wirkliches Viereck bilden, bei ihr in vier andere 

 gegebene Funkte p^, p^', Py", p^^ übergehen sollen, die natürlich auch 

 ein wirkliches Viereck bilden müssen. 



Andererseits haben wir in § 1, Satz 6, erkannt, dass es auch 

 gerade eine projective Transformation giebt, die p', p" , p'", p^^^ 

 in jp/, p^', pI" , p^^ überführt. Da sie Geraden in Geraden ver- 

 wandelt, muss sie folglich mit jener analytischen Transformation 

 identisch sein. 



Theorem 2: Jede durch differenzierbare Gleichungen ge- 

 gebene Punkttransformation der Ebene (x, y), die Geraden in 

 Geraden überführt, ist eine projective Transformation: 



aiX + &i y_+ Cj ^^ «gX -\- h^y + c^ ^ 



^^~ a^x Yhy +\ ' ^^ «3^ + &32/ + Ca * 

 Dieser Satz lässt die hervorragende Bedeutung der projectiven 

 Transformationen ganz besonders ins Licht treten. 



Die oben in Fig. 6 angedeutete Construction ist übrigens eine be- 

 kannte von Möbius herrührende Methode zur geometrischen Her- 

 stellung einer projectiven Transformation. 



An diese Möbius'sche Construction knüpfen wir noch folgende 

 Bemerkung an: In Fig. 6 können g, g", g"\ g^^ als vier beliebige 



