Andere Definitionen der projectiven Transformationen. 33 



Geraden durch einen Punkt / aufgefasst werden. Die Transformation 

 führt sie iu die Geraden g^, g^', gl", g^^' durch ^j/ über, die dasselbe 

 Doppelverhältnis haben. Also folgern wir: 



Satz 10: Eine p'ojectire Transformation führt vier durch einen 

 Funkt gehende Geraden stets in solche vier durch einen Punkt gehende 

 Geraden über, die dasselbe Boppelverhältnis wie jene haben. 



Betrachten wir andererseits vier Punkte auf einer Geraden, so 

 können wir sie mit irgend einem fünften Punkte durch vier Strahlen 

 verbinden. Sie haben dann nach Satz 1, § 1 des 1. Kap., dasselbe 

 Doppelverhältnis wie diese vier Strahlen, die bei der projectiven Trans- 

 formation in vier Strahlen mit demselben Doppelverhältnis übergehen. 

 Daher folgt noch : 



Satz 11 : Eine projective Transformation führt vier auf einer Geraden 

 liegende Punkte in solche vier auf einer Geraden liegende Punkte über, 

 die dasselbe Doppelverhältnis wie jene haben. 



Wir können unserem obigen Theorem eine rein analytische Fassung 

 o-eben : Die oo^ Geraden der Ebene sind die Integralcurven der Diffe- 

 rentialgleichung zweiter Ordnung 



dx^ Projecti 



Eine Transformation mation c 



. ^ ^ ^ fmiert du 



(16) x^ = (p{x, y), y, = t{x, y) ,"=0 



führt daher dann und nur dann jede Gerade wieder in eine Gerade 

 über, wenn bei ihr jene Differentialgleichung in den neuen Veränder- 

 lichen Xy, 2/1 wieder die Form hat: 



^^= 0. 

 Es ist bei unserer Transformation: 



und hieraus lässt sich vermöge 



d^y^ dXi ^ dx-i 



dXi^ dx ' dx 



auch f-^ berechnen. Es kommt, wenn die partielle Differentation 



^ach X bez. y durch angehängten Index x bez. y bezeichnet wird: 



— {fpxx + 2(Pxyy-\- (PyyV^ + Wj"){^^ + "^yV)] ' 

 Lie, Continuierliche Gruppen. 3 



